LeetCode-P53题解【动态规划】
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题目出处:
https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/description
题目描述:
找出连续子区间最大和,至少包含一个数
例如:[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],则子区间[4,-1,2,1]有最大和为6
输入:
[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
思路分析:
解法一:
如上图P1.1:
最优解一定为一段连续的区间,则可以有O(n*n)的解法,即遍历所有的区间找出最大值
设sum[i]为区间[1,i]的和,初始化处理
最优解=max(sum[i]-sum[j]), (0<=i,j<n)
解法二:
假设最大区间和为上图红色区域,可以看出,点i一定是该区间最右边节点;
图P1.2
设f[i]为以i结尾的最大连续区间和
为什么一定要以i结尾?
因为f[i]为一维数组,不加这个条件,则f[i]无法表示出前面的状态,只知道前i个节点的最优解,但不知道最优解从哪里开始
如果已经求出i个节点的最大区间和,则增加一个节点i+1时,前i+1个节点的最优解只有两种情况
1)i+1不在最优解区间中,这种情况和只有i个节点是一样的
2)i+1在最优解区间中, 这和情况i+1一定是最优解的最右边节点,又分两种情况
2-1) 前i个节点的最优解为负数,则舍弃前面的和,因为加上前面的和会更小
f[i+1]=f[i]+line[i+1]
2-2) 前i个节点的最优解为正数,则加上前面的和,因为加上前面的和会更大
f[i+1]=line[i+1]
最优解=max(f[i]), (0<=i<n)
注:每一个节点i只与之前的一个节点i-1相关,所以用滚动变量,空间复杂度为O(1)
C++源码如下:
github: https://github.com/Kyle-Wilson1/Leetcode/tree/master/P53
class Solution {
public: Solution() = default; static int maxOfTwo(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
} int maxSubArray(vector<int> &nums) {
int pre = 0, now = 0, maxAnswer = -2147483647;
for (int num : nums) { if (pre > 0)
now = pre + num;
else
now = num;
maxAnswer = maxOfTwo(maxAnswer, now);
pre = now;
}
return maxAnswer;
}
};
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