UOJ#54 BZOJ3434 [WC2014]时空穿梭

题目描述

小 X 驾驶着他的飞船准备穿梭过一个 $n$ 维空间，这个空间里每个点的坐标可以用 $n$ 个实数表示，即 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$。

为了穿过这个空间，小 X 需要在这个空间中选取 $c$（$c\geq 2$）个点作为飞船停留的地方，而这些点需要满足以下三个条件：

每个点的每一维坐标均为正整数，且第 $i$ 维坐标不超过 $m_i$。

第 $i+1$（$1\leq i<c$）个点的第 $j$（$1\leq j\leq n$）维坐标必须严格大于第 $i$ 个点的第 $j$ 维坐标。

存在一条直线经过所选的所有点。在这个 $n$ 维空间里，一条直线可以用 $2n$ 个实数 $p_1,p_2,\dots,p_n,v_1,v_2,\dots,v_n$ 表示。直线经过点 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$，当且仅当存在实数 $t$，使得对 $i=1\dots n$ 均满足 $x_i=p_i+v_it$。

小 X 还没有确定他的最终方案，请你帮他计算一下一共有多少种不同的方案满足他的要求。由于答案可能会很大，你只需要输出答案 $mod10007$ 后的值。

输入格式

第一行包含一个正整数 $T$，表示有 $T$ 组数据需要求解。

每组数据包含两行，第一行包含两个正整数 $n,c$（$c\geq 2$），分别表示空间的维数和需要选择的暂停点的个数。

第二行包含 $n$ 个正整数，依次表示 $m_1,m_2,…,m_n$。

输出格式

共 $T$ 行，每行包含一个非负整数，依次对应每组数据的答案。

样例

input

output

2
4
846

explanation

对于第一组数据，共有两种可行的方案：一种选择 $(1,1),(2,2),(3,3)$，另一种选择 $(1,2),(2,3),(3,4)$。

限制与约定

\[T \leq 1000, n \leq 11, c \leq 20, m_i \leq 10^5
\]

时间限制: 1s, 空间限制: 512MB.

题解

首先，我们发现只要满足$x_i < y_i, i = 1,2,\dots,n$ ，（其中$(x_1, x_2,\dots,x_n),(y_1, y_2,\dots,y_n)$分别是第一个点和最后一个点的坐标）且点的不同排列算同一种即可。

那么，我们枚举这两个点之后，以其为端点的线段上共有（除去两端）$\gcd(y_1-x_1,y_2-x_2,\dots.y_n-x_n)$个点。其中选出$c-2$个点的方式有$C_{\gcd(y_1-x_1,y_2-x_2,\dots.y_n-x_n)}^{c-2}$种，所以总方案数是

\[ans=\sum_{\substack{1\leq x_i < y_i\leq m_i \\ i = 1,2,\dots,n}}C_{\gcd(y_1-x_1,y_2-x_2,\dots,y_n-x_n)}^{c-2}
\]

我们发现，所有$p_i=y_i-x_i$固定之后，方案数恰有

\[C_{\gcd(p_1, p_2,\dots,p_n)}^{c-2}\prod_{i=1}^n(m_i-p_i)
\]

种，这是因为$p_i$固定后$x_i$只能取$1,2,\dots,m_i-p_i$.

于是我们有

\[ans=\sum_{\substack{1\leq q_i < m_i \\ i = 1,2,\dots,n}}C_{\gcd(p_1, p_2,\dots,p_n)}^{c-2}\prod_{i=1}^n(m_i-p_i)
\]

优先枚举$d=\gcd(p_1, p_2,\dots,p_n)$（下式中$m_{min}$表示$\min(m_1,m_2,\dots,m_n)$:

\[ans=\sum_{d=1}^{m_{min}-1}C_d^{c-2}\sum_{\substack{1\leq q_i < m_i \\ i = 1,2,\dots,n\\ \gcd(p_1, p_2,\dots,p_n)=d}}\prod_{i=1}^n(m_i-p_i)
\]

令

\[f(d)=\sum_{\substack{1\leq q_i < m_i \\ i = 1,2,\dots,n\\ \gcd(p_1, p_2,\dots,p_n)=d}}\prod_{i=1}^n(m_i-p_i)
\]

则有

\[\begin{aligned}
\sum_{d\mid l}f(l)&=\sum_{\substack{1\leq q_i < m_i \\ i = 1,2,\dots,n\\d\mid\gcd(p_1, p_2,\dots,p_n)}}\prod_{i=1}^n(m_i-p_i)\\
&=\sum_{\substack{1\leq q_i'd < m_i \\ i = 1,2,\dots,n}}\prod_{i=1}^n(m_i-p_i'd)\\
&=\prod_{i=1}^n\sum_{p'=1}^{\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor}(m_i-p'd)\\
&=\prod_{i=1}^n\left[m_i\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor-\frac{d\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor\left(1+\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor\right)}2\right]
\end{aligned}\]

最后一步是等差数列求和。

由莫比乌斯反演可知：

\[f(d)=\sum_{d\mid l}\mu\left(\frac ld \right)\prod_{i=1}^n\left[m_i\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor-\frac{d\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor\left(1+\left\lfloor\frac{m_i-1}d\right\rfloor\right)}2\right]
\]

于是有

\[\begin{aligned}
ans&=\sum_{d=1}^{m_{min}-1}C_d^{c-2}\sum_{d\mid l}\mu\left(\frac ld \right)\prod_{i=1}^n\left[m_i\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor-\frac{l\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor\left(1+\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor\right)}2\right]\\
&=\sum_{l=1}^{m_{min}-1}\prod_{i=1}^n\left[m_i\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor-\frac{l\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor\left(1+\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor\right)}2\right]\sum_{d\mid l}\mu\left(\frac ld \right)C_d^{c-2}
\end{aligned}\]

易知$\prod_{i=1}^n\left[m_i\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor-\frac{l\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor\left(1+\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor\right)}2\right]$在将所有$\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor$作为常数看待的情况下是一个关于$l$的不超过$n$次（是因为$mod10007$之后有可能次数更低）的多项式，而且引起至少一个$\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor$改变的$l$有$O(n\sqrt m)$个，于是可以对每一个所有$\left\lfloor\frac{m_i-1}l\right\rfloor$都不改变的段分别求和。由于此时它是关于$l$的多项式，我们只需预处理出所有的$S_{c,p,t}=\sum_{l=1}^tl^p\sum_{d\mid l}\mu\left(\frac ld \right)C_d^{c-2}$即可。至于如何在只改变一个因式时快速维护成绩中各项的系数，可以用线段树实现（代码中为zkw线段树）。

完。

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
const int N = 12;
const int C = 21;
const int M = 100001;
const int mod = 10007;
int fac[mod], inv[mod];
int mu[M], f[C][M], S[C][M][N];
int p[N * 1000], m[N];
inline int CC(int a, int b) {
  if (!b) return 1;
  if (a % mod < b % mod) return 0;
  return CC(a / mod, b / mod) * fac[a % mod] % mod * inv[fac[b % mod]] % mod * inv[fac[(a - b) % mod]] % mod;
}
int a[64][N], po[64];
int mdp[N];
int n, mm, c;
void upd(int x) {
  int l = x * 2, r = x * 2 + 1;
  po[x] = po[l] + po[r];
  for (int i = 0; i <= po[x]; ++i) a[x][i] = 0;
  for (int i = 0; i <= po[l]; ++i)
    for (int j = 0; j <= po[r]; ++j)
      a[x][i + j] = (a[x][i + j] + a[l][i] * a[r][j] % mod) % mod;
}
int sum(int l, int r) {
  int ans = 0;
  for (int i = 0; i <= po[1]; ++i)
    ans = (ans + a[1][i] * (S[c][r][i] - S[c][l - 1][i]) % mod) % mod;
  return ans;
}
int main() {
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i < mod; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
  inv[1] = 1;
  for (int i = 2; i < mod; ++i) inv[i] = mod - (mod / i) * inv[mod % i] % mod;
  mu[1] = 1;
  for (int i = 1; i < M; ++i)
    for (int j = i * 2; j < M; j += i)
      mu[j] -= mu[i];
  for (int c = 2; c < C; ++c) {
    for (int i = 1; i < M; ++i)
      f[c][i] = 0;
    for (int d = c - 1; d < M; ++d) {
      int cc = CC(d - 1, c - 2);
      for (int i = 1; i * d < M; ++i)
        f[c][i * d] = (f[c][i * d] + cc * mu[i]) % mod;
    }
    for (int j = 0; j < N; ++j)
      S[c][0][j] = 0;
    for (int i = 1; i < M; ++i)
      for (int j = 0, ij = 1; j < N; ++j, ij = ij * (i % mod) % mod)
        S[c][i][j] = (S[c][i - 1][j] + f[c][i] * ij) % mod;
  }
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    mm = 10000000;
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
      scanf("%d", &m[i]), mm = std::min(mm, m[i]);
    if (mm < c) {
      printf("0\n");
      continue;
    } if (n == 1) {
      printf("%d\n", CC(m[0], c));
      continue;
    }
    int t = 0;
    p[t++] = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int last = 1;
      while (last < m[i] - 1) {
        last = (m[i] - 1) / ((m[i] - 1) / last) + 1;
        p[t++] = last;
      }
    }
    std::sort(p, p + t);
    t = (int)(std::unique(p, p + t) - p);
    p[t] = mm;
    int d = 1;
    while (d < n) d <<= 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) mdp[i] = m[i];
    for (int i = 1; i <= d * 2; ++i) a[i][po[i] = 0] = 1;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; p[i] < mm && i < t; ++i) {
      int l = p[i], r = p[i + 1] - 1; //[l, r]
      for (int j = 0; j < n; ++j)
        if ((m[j] - 1) / l != mdp[j]) {
          mdp[j] = (m[j] - 1) / l;
          int k = d + j;
          po[k] = 1;
          a[k][0] = m[j] % mod * (mdp[j] % mod) % mod;
          a[k][1] = -mdp[j] % mod * ((mdp[j] + 1) % mod) % mod * inv[2] % mod;
          while (k /= 2)
            upd(k);
        }
      ans = (ans + sum(l, r)) % mod;
    }
    printf("%d\n", (ans + mod) % mod);
  }
  return 0;
}