Prufer codes与Generalized Cayley's Formula学习笔记
\(Prufer\)序列
在一棵\(n\)个点带标号无根树里,我们定义这棵树的\(Prufer\)序列为执行以下操作后得到的序列
1.若当前树中只剩下两个节点,退出,否则执行\(2\)
2.令\(u\)为树中编号最小的叶子节点,记\(v\)为唯一与\(u\)有边相连的节点,把\(u\)删去,并将\(v\)加入到序列的末尾,重复\(1\)
显然,得到的\(Prufer\)序列是一个长度为\(n-2\)的序列
易证每一棵\(n\)个节点的有标号无根树都唯一对应一个长度为\(n-2\)的\(Prufer\)序列
无根树对应序列很容易证明,接下来我们要证明的是序列唯一对应无根树。我们只要知道如何根据序列求对应的无根树,并且保证求出的无根树唯一即可
根据序列求无根树,就是重复下列过程
令
1.令\(A=\{1,2,3,...,n\}\),不断重复\(2\)直到\(Prufer\)序列为空
2.找到\(A\)中最小的不在\(Prufer\)序列中的元素,将其与\(Prufer\)序列首元素连边,同时删除这个点和\(Prufer\)序列首元素
3.此时\(A\)中还剩下两个点,将它们连边即可
不难看出,如果一个点在树中度数为\(deg_i\),那么它在\(Prufer\)序列中的出现次数为\(deg_i-1\)
\(Cayley's\ Formula\)
因为长度为\(n-2\),每个元素取值范围为\([1,n]\)的序列个数为\(n^{n-2}\),根据无根树与\(Prufer\)序列的一一对应关系,有
\(n\)个点带标号无根树的个数为\(n^{n-2}\)
另外还有一个拓展
设树中点\(i\)的度数为\(d_i\),那么对应的无根树数量为\({(n-2)!\over \prod_{i=1}^n d_i}\)
\(Generalized\ Cayley's\ Formula\)
设\(f(n,m)\)为\(n\)个点构成\(m\)棵树,且\(1,2,3...,m\)全都不在同一棵树中,的方案数,有标号,无根
先给结论
\[f(n,m)=mn^{n-m-1}\]
当\(m=1\)时有\(f(n,1)=n^{n-2}\),即为\(Cayley's\ Formula\)
证明的话,我们采用归纳法
首先对于边界条件,有\(f(1,1)=1,f(n,0)=0\)
我们假设对于所有\(k<n\),\(f(k,m)=mk^{k-m-1}\)恒成立,接下来我们要证明\(f(n,m)=mn^{n-m-1}\)
为了方便起见,我们
我们枚举\(1\)号点的度数\(i\),以及与\(1\)相连的这\(i\)个点,那么去掉\(1\)号点之后,会留下\(n-1\)个点和\(m+i-1\)棵树,于是有
\[f(n,m)=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}f(n-1,m+i-1)\]
根据归纳,因为对于所有\(k<n\),\(f(k,m)=mk^{k-m-1}\)恒成立,所以
\[
\begin{aligned}
f(n,m)
&=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}f(n-1,m+i-1)\\
&=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}(m+i-1)(n-1)^{n-m-i-1}\\
\end{aligned}
\]
我们把\(i\)变成\(n-m-i\),柿子变成
\[
\begin{aligned}
f(n,m)
&=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}(n-i-1)(n-1)^{i-1}\\
&=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}(n-1)(n-1)^{i-1}-\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}i(n-1)^{i-1}\\
&=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}(n-1)^i-\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}i(n-1)^{i-1}\\
\end{aligned}
\]
前面那个东西,根据二项式定理,为\(n^{n-m}\)
后面那个东西,我们把\({n-m\choose i}i\)化为\({n-m-1\choose i-1}(n-m)\)
\[
\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{n-m}{n-m\choose i}i(n-1)^{i-1}
&=\sum_{i=0}^{n-m}{n-m-1\choose i-1}(n-m)(n-1)^{i-1}\\
&=(n-m)\sum_{i=0}^{n-m-1}{n-m-1\choose i}(n-1)^i\\
&=(n-m)n^{n-m-1}
\end{aligned}
\]
代入柿子即可
定理拓展
\(n\)个带权的点,边的权值为连接两点点权之积,树的权值为所有边权值之积,求所有树的权值之和
令\(i\)的度数为\(d_i\),权值为\(val_i\),则一棵树的权值即为
\[\prod_{i=1}^n{val_i}^{d_i}\]
考虑\(Prufer\)序列,每个点恰出现\(d_i-1\)次,那么根据乘法分配律,答案为
\[\left(\prod_{i=1}^n{val_i}\right)\left(\sum_{i=1}^nval_i\right)^{n-2}\]
这个东西似乎包含了上面的所有定理。当所有点权值为\(1\)时,就是\(Cayley's\ Formula\)。当把\(1\)到\(m\)缩成一个权值为\(m\)的点时,就是\(Generalized\ Cayley's\ Formula\)
参考资料
https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/10390772.html
On Cayley’s Formula for Counting Forests
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