51nod 最近刷题 简要题解
51nod 1564
由于数据是随机的，可以证明，对于每一个数，向左或右找比它小的数，长度是logn级别的
考虑枚举最大值
注意，对于每一个最大值，如果直接用2个循环枚举左右端点的话，理论是lognlogn级别的，但是还是很容易被卡的，换成贪心，用2个指针指着左右端点，每一次移动我们往数大的那个方向移动
代码：
//File Name: nod1564.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月10日 星期一 19时59分32秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = + ;
const LL INF = (<<);
LL a[MAXN],ans[MAXN];
int l[MAXN],r[MAXN];
void solve(int n){
l[] = ;
for(int i=;i<=n;i++){
l[i] = i;
while(l[i] > && a[l[i]-] <= a[i])
l[i] = l[l[i]-];
}
r[n] = n;
for(int i=n-;i>;i--){
r[i] = i;
while(r[i] < n && a[r[i]+] < a[i])
r[i] = r[r[i]+];
}
memset(ans,,sizeof ans);
for(int i=;i<=n;i++){
LL mi1 = a[i];
/*
for(int j=i;j>=l[i];j--){
mi1 = min(mi1,a[j]);
LL mi2 = mi1;
for(int k=i;k<=r[i];k++){
mi2 = min(mi2,a[k]);
ans[k-j+1] = max(ans[k-j+1],a[i] * mi2);
}
}
*/
int j = i,k = i;
while(true){
ans[k-j+] = max(ans[k-j+],mi1 * a[i]);
if(j == l[i] && k == r[i]) break;
else if(j == l[i] && k < r[i])
k+=,mi1 = min(mi1,a[k]);
else if(j > l[i] && k == r[i])
j-=,mi1 = min(mi1,a[j]);
else{
if(a[j-] >= a[k+])
j-=,mi1 = min(mi1,a[j]);
else
k+=,mi1 = min(mi1,a[k]);
}
}
}
for(int i=n-;i>=;i--)
ans[i] = max(ans[i],ans[i+]);
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%lld",a + i);
solve(n);
for(int i=;i<=n;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
return ;
}
51nod 1375
给出n个数，问从中找出刚好k个数或者任意个数，使得这些数的gcd = 1的方案数
枚举gcd，mobius反演下就可以了
代码：
//File Name: nod1375.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月10日 星期一 13时28分47秒 #include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int MOD = ;
const int MAXN = + ;
const int N = + ;
int s[MAXN],K;
int mu[MAXN],prime[MAXN];
bool check[MAXN];
LL p2[N],jie[N];
LL qp(LL x,LL y){
LL res = ;
for(;y>;y>>=){
if(y & ) res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
}
return res;
}
LL C(LL x,LL y){
if(y < || y > x) return ;
if(y == || y == x) return ;
return jie[x] * qp(jie[y] * jie[x-y] % MOD,MOD - ) % MOD;
}
void mobius(){
memset(check,false,sizeof check);
mu[] = ;
int tot = ;
for(int i=;i<MAXN;i++){
if(!check[i]){
prime[tot++] = i;
mu[i] = -;
}
for(int j=;j<tot;j++){
if(i * prime[j] >= MAXN) break;
check[i * prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == ){
mu[i * prime[j]] = ;
break;
}
else{
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}
void init(){
p2[] = jie[] = ;
for(int i=;i<N;i++){
p2[i] = p2[i-] * % MOD;
jie[i] = jie[i-] * i % MOD;
}
mobius();
}
LL cal(int sum){
if(K == -) return p2[sum] - ;
return C(sum,K);
}
LL solve(int n,int ma){
LL ans = ;
for(int k=;k<=ma;k++){
int sum = ;
for(int i=k;i<=ma;i+=k)
sum += s[i];
ans = (ans + mu[k] * cal(sum) + MOD) % MOD;
}
return ans;
}
int main(){
init();
int n,ma = ;
scanf("%d %d",&n,&K);
for(int i=,u;i<n;i++){
scanf("%d",&u);
ma = max(ma,u);
s[u]++;
}
printf("%lld\n",solve(n,ma));
return ;
}
51nod 1269
简单容斥，求组合数的时候C(n，m) % p,虽然n是10^16级别的，但是p是素数，m才20左右，直接暴力求就可以了
//File Name: nod1269.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月10日 星期一 13时11分23秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int MOD = (int)1e9 + ;
int inv[];
LL a[];
LL qp(LL x,LL y){
LL res = ;
for(;y>;y>>=){
if(y & ) res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
}
return res;
}
LL C(LL x,LL y){
if(x < y || y < ) return ;
if(y == x || y == ) return ;
LL ans = ;
for(int i=;i<y;i++){
ans = (x - i) % MOD * inv[y - i] % MOD * ans % MOD;
}
// printf("x = %lld y = %lld ans = %lld\n",x,y,ans);
return ans;
}
LL solve(int n,LL s){
for(int i=;i<n;i++)
inv[i] = qp(i,MOD - );
LL ans = ;
for(int i=;i<(<<n);i++){
LL now = ;
int num = ;
for(int j=;j<n;j++){
if(i & ( << j)){
num++;
now += a[j] + ;
}
} LL tmp = C(s - now + n -,n - );
if(num & ) ans = (ans - tmp + MOD) % MOD;
else ans = (ans + tmp) % MOD;
}
return ans;
}
int main(){
LL s;
int n;
scanf("%d %lld",&n,&s);
for(int i=;i<n;i++) scanf("%lld",a + i);
cout << solve(n,s) << endl;
return ;
}
51nod 1407
i表示集合的状态
f(i)表示i & x= i的x的个数，即i是x的子集
可以分治求f
然后容斥下就可以
//File Name: nod1407.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月09日 星期日 22时04分55秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = << ;
const int MOD = (int)1e9 + ;
int f[MAXN];
LL p2[MAXN];
void init(){
p2[] = ;
for(int i=;i<MAXN;i++)
p2[i] = p2[i-] * % MOD;
}
void cal(int pre,int i){
if(i < ) return ;
cal(pre,i-);
cal(pre+(<<i),i-);
for(int j=;j<(<<i);j++)
(f[pre+j] += f[pre+(<<i)+j] )%=MOD;
}
LL solve(int n){
cal(,);
// for(int i=0;i<=10;i++)
// cout << f[i] << endl;
LL ans = ;
for(int i=,s;i<(<<);i++){
s = ;
for(int j=;j<;j++)
if(i & (<<j)) s++;
LL tmp = (p2[f[i]] - + MOD) % MOD;
if(s & ) ans = (ans - tmp + MOD) % MOD;
else ans = (ans + tmp) % MOD;
}
return ans;
}
int main(){
init();
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=,a;i<n;i++){
scanf("%d",&a);
f[a]++;
}
cout << solve(n) << endl;
return ;
}
51nod 1406
与上一道题一样
//File Name: nod1406.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月09日 星期日 11时53分29秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f[<<];
void solve(int pre,int i){
if(i < ) return ;
solve(pre,i-);
solve(pre+(<<i),i-);
for(int j=;j<(<<i);j++)
f[pre+j] += f[pre+(<<i)+j];
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=,u;i<n;i++){
scanf("%d",&u);
f[u]++;
}
solve(,);
for(int i=;i<=;i++)
printf("%d\n",f[i]);
return ;
}
51nod 1362
枚举向右下方走的次数，可以得到公式
对于公式，有一问题，就是要求的是C(n,m)%p,这个时候p也可能是合数，n是10^9级别，但是m是1000级别的
注意到需要消除的数都是与p的gcd大于1的，所以只需要考虑p的质因子，将与p互质的部分直接求逆元计算，不互质的部分维护成质因子的幂次，从分子中减去即可。
O(nlogp)级别
//File Name: nod1362.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月09日 星期日 19时14分21秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#define LL long long
using namespace std;
vector<int> dive;
int s[];
LL mod;
LL qp(LL x,LL y){
LL res = ;
for(;y>;y>>=){
if(y & ) res = res * x % mod;
x = x * x % mod;
}
return res;
}
LL ext_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if(a == && b == ) return -;
if(b == ){x = ;y = ;return a;}
LL d = ext_gcd(b,a%b,y,x);
y -= a / b * x;
return d;
}
LL inv(LL a,LL n){
LL x,y;
LL d = ext_gcd(a,n,x,y);
if(d == ) return (x % n + n) % n;
return -;
}
void cal_dive(LL p){
dive.clear();
for(int i=;i*i<=p;i++){
if(p % i == ){
dive.push_back(i);
while(p % i == ) p /= i;
}
}
if(p > ) dive.push_back(p);
sort(dive.begin(),dive.end());
}
LL fact(LL x,int f){
for(int i=;i<dive.size();i++){
while(x % dive[i] == ){
s[i]+=f;
x /= dive[i];
}
}
if(f == -) return inv(x,mod);
return x;
}
LL cal(LL l,LL r,LL a,LL b,LL c){
memset(s,,sizeof s);
LL ans = fact(a,-);
for(int i=;i<=b;i++)
ans = ans * fact(i,-) % mod;
for(int i=;i<=c;i++)
ans = ans * fact(i,-) % mod;
for(LL i=l;i<=r;i++)
ans = ans * fact(i,) % mod;
for(int i=;i<dive.size();i++){
ans = ans * qp(dive[i],s[i]) % mod;
}
return ans;
}
LL solve(LL n,LL m){
LL ans = ;
LL ma = min(n,m);
cal_dive(mod);
for(int c=;c<=ma;c++){
ans = (ans + cal(m-c+,m-c++n,n+,c,n-c)) % mod;
}
return ans;
}
int main(){
LL n,m;
cin >> n >> m >> mod;
cout << solve(n,m) << endl;
return ;
}
51nod 1197
由于每次跳跃都是*2的，字符串实际上可以划分成若干条链的组合，每一条链都是logn长度的
再加个矩阵乘法
//File Name: nod1197.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月08日 星期六 20时18分58秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = + ;
const int MOD = (int)1e9 + ;
const int N = ;
int f[MAXN][N],len[N],g[N];
struct matrix_t{
LL x[N][N];
matrix_t(int v){
memset(x,,sizeof(x));
for(int i=;i<=N;i++) x[i][i] = v;
}
matrix_t operator*(const matrix_t &r){
matrix_t p();
for(int k=;k<=N;k++){
for(int i=;i<=N;i++){
if(x[i][k] == ) continue;
for(int j=;j<=N;j++){
p.x[i][j] += x[i][k] * r.x[k][j] % MOD;
p.x[i][j] %= MOD;
}
}
}
return p;
}
matrix_t power(LL p){
matrix_t r(),a = *this;
for(;p;p>>=){
if(p & ) r = r * a;
a = a * a;
}
return r;
}
};
LL solve(int n,LL m){
f[][] = ;
for(int i=;i<=n;i++){
f[i][] = ;
for(int j=;j<=;j++)
f[i][j] = (0LL + f[i-][j] + f[i/][j-]) % MOD;
}
for(int i=;i<=;i++)
len[i] = (0LL + f[n][i] - f[n/][i] + MOD) % MOD;
matrix_t mat();
for(int i=;i<=;i++)
mat.x[][i] = len[i];
for(int i=;i<=;i++)
mat.x[i][i-] = ;
g[] = ;
for(int i=;i<N;i++)
for(int j=;j<= && j <= i;j++)
g[i] = (0LL + g[i] + 1LL * g[i-j] * len[j] % MOD) % MOD;
if(m < N) return g[m];
mat = mat.power(m - );
LL ans = ;
for(int i=;i<N;i++)
ans = (0LL + ans + mat.x[][i] * g[N - i] % MOD) % MOD;
return ans;
}
int main(){
int n;
LL m;
cin >> n >> m;
cout << solve(n,m) <<endl;
return ;
}
51nod 1251
枚举出现最大频率的那个频率，对于剩下的容斥就可以，发现对于枚举i，后面的复杂度是n/i
所以n / 1 + n / 2 + n / 3 + ... = O(nlogn)
//File Name: nod1251.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月08日 星期六 14时39分39秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN = + ;
const int MOD = (int)1e9 + ;
LL jie[MAXN],inv[MAXN];
LL qp(LL x,LL y){
LL res = ;
for(;y;y>>=){
if(y & ) res = res * x % MOD;
x =x * x % MOD;
}
return res;
}
void init(){
jie[] = ;
for(int i=;i<MAXN;i++)
jie[i] = jie[i-] * i % MOD;
for(int i=;i<MAXN;i++)
inv[i] = qp(jie[i],MOD - );
}
LL solve(int n,int m){
if(m == ) return ;
LL ans = ,tmp;
for(int i=,ma;i<=n;i++){
ma = (n - i) / i;
for(int j=;j<=ma;j++){
if(m - < j) continue;
tmp = jie[n-(j+)*i+m-]*inv[m-]%MOD*inv[n-(j+)*i]%MOD;
tmp = tmp*jie[m-]%MOD*inv[j]%MOD*inv[m--j]%MOD;
if(j & ) ans = (ans - tmp + MOD) % MOD;
else ans = (ans + tmp) % MOD;
}
}
return ans * m % MOD;
}
int main(){
init();
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%lld\n",solve(n,m));
}
return ;
}
51nod 1668
推下dp公式，矩阵乘法
//File Name: nod1668.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月04日 星期二 16时04分05秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = ;
const int MOD = (int)1e9 + ;
int g[];
struct matrix_t{
LL x[N+][N+];
matrix_t(int v = ){
memset(x,,sizeof x);
for(int i=;i<=N;i++) x[i][i] = v;
}
matrix_t operator*(const matrix_t &r){
matrix_t p();
for(int k=;k<=N;k++){
for(int i=;i<=N;i++){
if(x[i][k] == ) continue;
for(int j=;j<=N;j++){
(p.x[i][j] += x[i][k] * r.x[k][j] % MOD) %= MOD;
}
}
}
return p;
}
matrix_t power(LL p){
matrix_t r(),a = *this;
for(;p;p>>=){
if(p & ) r = r * a;
a = a * a;
}
return r;
}
};
LL solve(LL n){
g[] = ,g[] = ,g[] = ,g[] = ;
if(n <= ) return g[n];
matrix_t mat();
mat.x[][] = mat.x[][] = mat.x[][] = ;
mat.x[][] = mat.x[][] = mat.x[][] = ;
mat = mat.power(n - );
LL ans = mat.x[][] * g[] % MOD + mat.x[][] * g[] % MOD +
mat.x[][] * g[] % MOD + mat.x[][] * g[] % MOD;
return ans % MOD;
}
int main(){
LL n;
cin >> n;
cout << solve(n) << endl;
return ;
}
51nod 1309
求出a中不同的排列有P种
考虑每个数ai会在哪些排列中产生贡献，设a中比M大的数有k个，一个小于等于M的数ai能产生贡献当且仅当ai在排列中的位置在这k个数之前，即对于这k+1个数，ai的位置在最前，由于ai 与这k个数都不相同，这样的概率是1 / (k+1) ,所以ai可以产生贡献的排列有P / (k+1) 个，设a中 <= M 的数的和是S，则答案是
S * P / (k + 1)
先统计出来，对于每一个询问，2分得到答案
//File Name: nod1309.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月05日 星期三 13时22分11秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#define LL long long
#define fir first
#define sec second
using namespace std;
const int MAXN = ;
const int MOD = (int)1e9 + ;
int a[MAXN];
map<int,LL> pre_s,ans;
map<int,int> pre_num;
LL P,jie[MAXN];
LL qp(LL x,LL y){
LL res = ;
for(;y>;y>>=){
if(y & ) res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
}
return res;
}
int bs(int l,int r,int x){
if(a[l] > x) return -;
if(a[r] <= x) return a[r];
while(r - l > ){
int mid = l + r >> ;
if(a[mid] <= x) l = mid;
else r = mid;
}
return a[l];
}
void solve(int n,int q){
jie[] = ;
for(int i=;i<MAXN;i++) jie[i] = jie[i-] * i % MOD;
sort(a,a+n);
P = jie[n];
for(int i=;i<n;i++){
pre_s[a[i]] += a[i];
pre_num[a[i]]++;
}
for(map<int,int>::iterator it=pre_num.begin();it!=pre_num.end();it++)
P = P * qp(jie[it->sec],MOD - ) % MOD;
// cout << P << endl;
for(map<int,int>::iterator pre=pre_num.begin(),it;pre!=pre_num.end();pre++){
it = ++pre;
--pre;
if(it==pre_num.end()) break;
pre_num[it->fir] += pre_num[pre->fir];
// cout << it->fir << " " << pre_num[it->fir] << endl;
}
for(map<int,LL>::iterator pre=pre_s.begin(),it;pre!=pre_s.end();pre++){
it = ++pre;
--pre;
if(it == pre_s.end()) break;
(pre_s[it->fir] += pre_s[pre->fir]) %= MOD;
// cout << it->fir << " " << pre_s[it->fir] << endl;
}
for(int i=;i<n;i++){
ans[a[i]] = pre_s[a[i]] * P % MOD * qp(n-pre_num[a[i]]+,MOD - ) % MOD;
// cout << a[i] << " " << pre_s[a[i]] << " " << n - pre_num[a[i]] + 1 <<endl;
}
for(int i=,x;i<q;i++){
scanf("%d",&x);
x = bs(,n-,x);
// cout << x << endl;
if(x == -) puts("");
else printf("%lld\n",ans[x]);
}
}
int main(){
int n,q;
scanf("%d %d",&n,&q);
for(int i=;i<n;i++) scanf("%d",a + i);
solve(n,q);
return ;
}
51nod 1667
把甲的数字写成Li+xi的形式，乙的写成Ri-yi的形式，整理后发现，其实要求的是：
x1 + x2 + ... + xn < S ，0 <= xi <= MAi 这种形式，S和MAi都是常数
容斥就可以了
//File Name: nod1667.cpp
//Author: long
//Mail: 736726758@qq.com
//Created Time: 2016年10月04日 星期二 20时22分27秒 #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int MOD = (int)1e9 + ;
const LL INF = ;
int l[],r[],k1,k2;
LL A,inv[],ma[];
LL qp(LL x,LL y){
LL res = ;
for(;y>;y>>=){
if(y & ) res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
}
return res;
}
LL C(LL x,LL y){
if(x < y || y < ) return ;
if(y == || y == x) return ;
LL res = ;
for(LL i=;i<y;i++)
res = res * (x - i) % MOD * inv[y-i] % MOD;
// cout << x << " " << y << endl;
// cout << res << endl;
return res;
}
LL cal(int n){
if(A < ) return ;
LL res = ,s,tmp;
for(int i=,num;i<(<<n);i++){
num = ,s = ;
for(int j=;j<n;j++){
if(i & (<<j)){
num++;
s += ma[j] + ;
}
}
tmp = C(A-s+n-,n-);
if(num & ) (res = res - tmp + MOD) %= MOD;
else (res += tmp) %= MOD;
}
// if(res < 0) cout << "fff " << endl;
return res;
}
void solve(){
LL ansl = ,ansg = ,anseq = ,sum = ;
A = ;
for(int i=;i<k1;i++) A -= l[i];
for(int i=k1;i<k1+k2;i++) A += r[i];
anseq = cal(k1+k2);
A--;
ansl = cal(k1+k2+);
A = ;
for(int i=;i<k1;i++) A += r[i];
for(int i=k1;i<k1+k2;i++) A -= l[i];
A--;
ansg = cal(k1+k2+);
for(int i=;i<k1+k2;i++){
sum = sum * (r[i] - l[i] + ) % MOD;
}
sum = qp(sum,MOD - );
ansl = ansl * sum % MOD;
ansg = ansg * sum % MOD;
anseq = anseq * sum % MOD;
printf("%lld %lld %lld\n",ansg,anseq,ansl);
}
int main(){
for(int i=;i<;i++) inv[i] = qp(i,MOD - );
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&k1);
for(int i=;i<k1;i++)
scanf("%d %d",&l[i],&r[i]),ma[i] = r[i] - l[i];
scanf("%d",&k2);
for(int i=k1;i<k1+k2;i++)
scanf("%d %d",&l[i],&r[i]),ma[i] = r[i] - l[i];
ma[k1+k2] = INF;
solve();
}
return ;
}
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