BZOJ 2190: [SDOI2008]仪仗队
2190: [SDOI2008]仪仗队
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Description
作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。
Input
共一个数N。
Output
共一个数,即C君应看到的学生人数。
Sample Input
Sample Output
HINT
【数据规模和约定】 对于 100% 的数据,1 ≤ N ≤ 40000
Source
分析:
问题可以转化为求Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) [gcd(i,j)==1]
显然如果存在一个点(i*d,j*d),那么它一定已经被(i,j)覆盖掉了...
根据Dirichlet卷积:e(i)=1 (if n=1)
0 (else)
e=μ×1,(f×g)(n)=Σ(d|n) f(d)*g(n/d)
我们可以把复杂度从n^2lgn化简为O(n)
Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) [gcd(i,j)==1]
=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) e(gcd(i,j))
=Σ(1<=i<=n) Σ(1<=j<=n) Σ(d|gcd(i,j)) μ(d)
=Σ(1<=d<=n) μ(d)*(n/d)*(n/d)
代码:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;
//大鹏一日同风起,扶摇直上九万里 const int maxn=+; int n,ans,cnt,miu[maxn],prime[maxn],vis[maxn]; signed main(void){
ans=cnt=;
scanf("%d",&n);miu[]=;n--;
memset(vis,,sizeof(vis));
for(int i=;i<=n;i++){
if(!vis[i])
prime[++cnt]=i,miu[i]=-;
for(int j=;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=,miu[i*prime[j]]=-miu[i];
if(i%prime[j]==){
miu[i*prime[j]]=;break;
}
}
}
for(int i=;i<=n;i++)
ans+=miu[i]*(n/i)*(n/i);
printf("%d\n",ans+);
return ;
}
by NeighThorn
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