【CQOI2012】局部极小值

【CQOI2012】局部极小值

Description

　　有一个\(n\)行\(m\)列的整数矩阵，其中\(1\)到\(nm\)之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。

　　给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

答案对\(123456789\)取模。

\(1\leq n\leq 4,1\leq m\leq 7\)。

样例输入：

1 3

.X.

样例输出：

2

我们可以发现一张图上的最小值点最多\(8\)个。于是我们找到所有的最小值点以及与这些点的所有相邻点。

我们考虑从\(1\)到\(nm\)将每个数字填入一个格子中。显然一个格子\((x,y)\)只有在\((x,y)\)周围的最小值点都已经填充了数字的时候它才能填充。

我们设\(size_{S}\)表示最小值填充的情况为\(S\)的时候有多少非最小值点可以填充。

我们考虑从\(nm\)到\(1\)倒着枚举每个数\(i\)，然后在枚举集合\(S\)表示\(i+1\)到\(nm\)中已经填充了\(S\)集合中的最小值。然后用组合数搞一搞就好了。

但是我们会发现一个问题，我们算出的答案中的最小值点可能不止题目中给定的点，这种情况是要舍去的。所以我们就\(dfs\)枚举所有可能的最小值点的情况，然后容斥就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 10
#define M 10

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=12345678;
int n,m;
char mp[N][N];
#define pr pair<int,int>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)

vector<pr>mn;
int q[15];
ll f[1<<8],g[1<<8];
int num;
ll fac[N*M];
ll C[N*M][N*M];
int sta[N][M];
int dx[]={1,1,0,-1,-1,-1,0,1},dy[]={0,-1,-1,-1,0,1,1,1};
int size[1<<8];
int bin[1<<8];

bool vis[N][M];

ll DP() {
	memset(sta,0,sizeof(sta));
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(size,0,sizeof(size));
	int cnt=0;
	for(int i=0;i<mn.size();i++) {
		int x=mn[i].first,y=mn[i].second;
		for(int j=0;j<8;j++) {
			int a=x+dx[j],b=y+dy[j];
			sta[a][b]|=1<<cnt;
		}
		cnt++;
	}
	if(!cnt) return fac[n*m];
	for(int T=0;T<1<<cnt;T++) {
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				if(sta[i][j]&&(sta[i][j]&T)==sta[i][j]) {
					size[T]++;
				}
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	f[0]=1;
	for(int i=n*m;i>=1;i--) {
		memset(g,0,sizeof(g));
		for(int T=0;T<1<<cnt;T++) {
			if(!f[T]) continue ;
			int res=((1<<cnt)-1)^T;
			for(int j=0;j<cnt;j++) {
				if(T>>j&1) continue ;
				int now=size[res]-size[res^(1<<j)];
				int emp=n*m-i-bin[T]-(size[(1<<cnt)-1]-size[res]);
				if(emp>=now) {
					(g[T|(1<<j)]+=C[emp][now]*fac[now]%mod*f[T])%=mod;
				}
			}
		}
		for(int T=0;T<1<<cnt;T++) (f[T]+=g[T])%=mod;
	}
	ans=f[(1<<cnt)-1];
	return ans*fac[n*m-size[(1<<cnt)-1]-bin[(1<<cnt)-1]]%mod;
}

ll dfs(int x,int y,ll flag) {
	if(x>n) {
		ll tem=DP();
		return DP()*flag%mod;
	}
	if(y>m) return dfs(x+1,1,flag);
	else {
		ll ans=0;
		if(!vis[x][y]) {
			int tag=1;
			for(int i=0;i<8;i++) {
				int a=x+dx[i],b=y+dy[i];
				if(vis[a][b]) tag=0;
			}
			if(tag) {
				vis[x][y]=1;
				mn.push_back(mp(x,y));
				(ans+=dfs(x,y+1,flag*(mod-1)%mod))%=mod;
				vis[x][y]=0;
				mn.pop_back();
			}
		}
		(ans+=dfs(x,y+1,flag))%=mod;
		return ans;
	}
}

void out(int S) {
	for(int i=0;i<mn.size();i++) cout<<(S>>i&1);
	cout<<"\n";
}

int main() {
	n=Get(),m=Get();
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n*m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=0;i<=n*m;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			C[i][j]=(!j||i==j)?1:(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	for(int S=0;S<1<<8;S++)
		for(int i=0;i<8;i++) bin[S]+=(S>>i&1);

	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%s",mp[i]+1);
	}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			if(mp[i][j]=='X') {
				mn.push_back(mp(i,j));
				vis[i][j]=1;
				if(mp[i-1][j]=='X'||mp[i][j-1]=='X'||mp[i-1][j-1]=='X'||mp[i-1][j+1]=='X') {
					flag=1;
				}
			}
		}
	}
	if(flag) return cout<<0,0;
	cout<<dfs(1,1,1);
	return 0;
}