Codeforces 806 D. Perishable Roads Dijkstra

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题目传送门 - CF806D

题意

　　给定一个 n 个点的无向完全图，每一条边有一定的边权。

　　对于它的一个生成树，我们定义一个节点的花费为该点到根的边权min 。

　　一个生成树的权值为所有节点的花费之和。

　　对于每一个节点，求出以他为根的最小生成树权值。

　　$n\leq 2000$

题解

　　首先，我们考虑找出权值最小的边。

　　那么，一旦这条边被连到了根，剩下的所有点直接连向它就好了。

　　假设有一个根，那么最优解之一 一定长成这样：

　　其中根为最上面那个点，黑色点的上面直接连接的边权值为 min 。

　　我们将所有点的权值先减掉min 。

　　这之后我们只需要求出“将根和任意一个连接 0 边的节点连通的最小花费”即可。

　　

　　考虑将从黑色节点到根的边权依次写出来，假设是 $w_1,w_2,w_3,\cdots ,w_n$ ，那么有这样一个性质：

　　最优解之一 一定满足 $\forall i>1, w_i<w_{i+1}$ 。

　　因为如果存在一个不满足的 $i$ ，我们可以直接把第 $i-1$ 个接上去，把第 $i$ 个接到黑点上面。

　　对于第一条边，当然不需要满足。

　　设一个超级源点 S ，使他免费连向所有与 0 边直接相连的点，并与其他点没有边。

　　于是，对于任何一个点 x，对于它连向的任意一个与 0 边直接相连的点 y ，将 d[x][S] 变成 min(d[x][S],2*d[x][y]) 即可。

　　最后只要从 S 开始跑一下最短路就好了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
	LL x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch))
		f|=ch=='-',ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=2005;
const int INF=2e9;
int n;
int g[N][N];
int tag[N],near[N];
int vis[N];
LL dis[N];
int main(){
	n=read();
	int Min=INF;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=i+1;j<=n;j++){
			g[i][j]=g[j][i]=read();
			Min=min(Min,g[i][j]);
		}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (i!=j){
				g[i][j]-=Min;
				if (!g[i][j])
					tag[i]=tag[j]=1;
			}
	int S=n+1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		g[S][i]=g[i][S]=tag[i]?0:INF;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (i!=j){
				if (tag[i])
					near[j]=1;
				if (tag[j])
					near[i]=1;
			}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (i!=j&&near[j])
				g[S][i]=g[i][S]=min(g[i][S],2*g[i][j]);
	for (int i=1;i<=n+1;i++)
		vis[i]=0,dis[i]=1e15;
	dis[S]=0;
	for (int i=1;i<=n+1;i++){
		int x=0;
		for (int j=1;j<=n+1;j++)
			if (!vis[j]&&(x==0||dis[j]<dis[x]))
				x=j;
		vis[x]=1;
		for (int j=1;j<=n+1;j++)
			if (!vis[j]&&dis[j]>dis[x]+g[x][j])
				dis[j]=dis[x]+g[x][j];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cout << dis[i]+(LL)Min*(n-1) << endl;
	return 0;
}