DUT Star Weekly Contest #3 Problem F Solution

问题转化

\[a_i+a_j+(i-j)^2=a_i+i^2+a_j+j^2-2ij\]

令 \(b_i=a_i+i^2\) , 问题化为: 求

\[\max \{b_i+b_j-2ij\}, \ (1 \le i, j \le n, i \ne j).\]

固定 \(i\) , 不妨设 \(j<i\) , 定义函数
\[
\begin{equation}
F_i(j) = b_j-2ij,\ (1 \le j< i)
\end{equation}
\]
问题化成: 求
\[
\begin{equation}
OPT_i = \max{F_i(j)}.
\label{OPT}
\end{equation}
\]

设 \(k<j<i\) , 我们来推导取 \(j\) 优于 \(k\) 的条件:

\[b_j - 2ij > b_k-2ik \Longrightarrow (b_j-b_k) > 2i(j-k)\]

即
\[
\begin{equation}
\dfrac{b_j - b_k}{j-k} > 2i
\label{C}
\end{equation}
\]
将 \(\eqref{C}\) 式左边记作 \(g(k, j)\) , 右边记作 \(f(i)\) , 对于 \(OPT_i\) 而言, \(j\) 优于 \(k\) 的条件为:
\[
\begin{equation}
g(k,j) > f(i) \label{general_C}
\end{equation}
\]

考虑一平面点集 \(P: \{ p_i: (i, b_i)\}, 1 \le i \le n\), 则 \(g(k, j)\) 表示斜率, 显然有
\[ g(j, k) = g(k, j) \]

斜率单调性优化

为了快速求 \(OPT_i\), 借助 \(\eqref{general_C}\) , 我们研究一下哪些 \(j\ (1 \le j < i)\) 不可能是 \(OPT_i\) 的唯一解. 有如下结论:

设 \(j_1<j_2<j_3\) ,
\(g(j_1, j_2) \le g(j_2, j_3)\) \(\Longrightarrow\) \(\forall i > j_3, \quad j_2\) 不优于 \(j_1\) 或者 \(j_2\) 不优于 \(j_3\)

证明:

\(\forall i > j_3\),
若 \(j_2\) 优于 \(j_3\) 即 \(g(j_2, j_3)<f(i)\), 则 \(g(j_1, j_2) \le g(j_2, j_3) < f(i)\) 即 \(j_1\) 优于 \(j_2\)
若 \(j_2\) 优于 \(j_1\) 即 \(g(j_1, j_2)>f(i)\), 则 \(g(j_2, j_3) \ge g(j_1, j_2) > f(i)\) 即 \(j_3\) 优于 \(j_2\)

根据这个结论, 为了求解 \(OPT_i\), 可以维护一个点的队列使得

相邻两点的斜率严格递减.
任意相邻两点的斜率都满足 \(\eqref{general_C}\) 式

这样队尾的点即为最优.

由 \(n\) 个点构造这样的一个队列的复杂度是 \(O(n)\). 另外, 可以令队列中的点只满足上述条件1, 然后从后向前遍历或者二分寻找 与前一个点斜率仍满足 \(\eqref{general_C}\) 式的最末的那个点.

然而我们并不能对每个 \(OPT_i\) 都从头求一遍, 那样复杂度和暴力一样. 对于一般情况, 我们可以动态维护一个斜率严格递减的队列, 在上面二分求解, 复杂度是 \(O(n\log n)\) . 当 \(f(i)\) 单调时, 复杂度可以做到 \(O(n)\) :

\(f(i)\) 递增: 在斜率单调递减的基础上, 每次在求解 \(OPT_i\) 之前, 若队尾两点满足 \(g(j_1, j_2) \le f(i)\) , 则队尾点出队, 反复该操作. 用队尾元素计算DP值.
\(f(i)\) 递减: 在斜率单调递减的基础上, 每次在求解 \(OPT_i\) 之前, 若队首两点符合 \(g(i_1, j_2) \ge f(i)\) , 则队首点出队, 反复该操作. 用队首元素计算DP值.

这一步可以称作 EXPOSING, 很形象, 它的目的正是将最优的转移点暴露出来.

总结

形如
\[
\begin{equation}
g(i,j) \lessgtr f(i)
\label{condition}
\end{equation}
\]
, 左边 \(g(i,j)\) 是某种斜率的形式, 都可以通过维护斜率单调的队列来优化. 一般情况下, 复杂度可优化到 \(O(n\log n)\) , 当 \(f(i)\) 单调时, 复杂度可进一步优化到 \(O(n)\) :

形如 \(g(i,j)>f(i)\) , 维护一个相邻点斜率严格递减的点列.
形如 \(g(i,j)<f(i)\) , 维护一个相邻点斜率严格递增的点列.