BZOJ 3514: Codechef MARCH14 GERALD07加强版（LCT + 主席树）

题意

\(N\) 个点 \(M\) 条边的无向图，询问保留图中编号在 \([l,r]\) 的边的时候图中的联通块个数。

\(K\) 次询问强制在线。

\(1\le N,M,K \le 200,000\)

题解

从前往后依次考虑每一条边,如果加入这条边 \(i\) 会生成环,那就删除这个环里最早加入的边 \(j\) ,并且记录下来 \(fout[i] = j\) ,代表 \(i\) 的加入弹掉了 \(j\) 号边 。

也就是说我们动态维护一颗以插入时间为权值的最大生成树，维护这个 \(MST\) 用 \(LCT\) 化边为点的 \(Link, Cut\) 就行了。

然后发现对于一个询问 \([l, r]\) ,就看在 \(l\) 到 \(r\) 之间有多少条边 \(i\) , \(fout[i] < l\) ,然后用 \(n\) 减掉这个数,就是一次询问的答案 。

原因：

如果 \(i\) 边的 \(fout\) 小于 \(l\) ,那么如果只存在 \(l\) 到 \(r\) 的边话, \(i\) 边必定会连接上两个联通块, 答案就要 \(-1\) ;

反之,如果它的 \(fout\) 大于等于 \(l\) ,那么这条边连的是一个联通块里的两个点,不会对答案产生贡献 。

然后对于后面这个区间查 \(<\) 一个数的数有多少个用主席树维护就行了。

注意，自环的 \(fout\) 应该设成 \(\infty\) ，因为它无法减少联通块数量。

ps: 它的强制在线很迷，直接异或就行了。。也不需要交换，以及强制在 \([1, n]\) 之间。。我怀疑没有在线的点。

总结

对于这类区间询问联通块或者一类有关出现次数的题，我们常常可以维护一个 \(Last\) 或者 \(fout\) ，然后查询区间中和这些信息有关的东西，这个又常常使用主席树维护，算是一类套路了吧。

代码

具体实现见代码，写的有点长，但是阅读还是不难。

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define fir first
#define sec second
#define mp make_pair

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
	int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
	return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("3514.in", "r", stdin);
	freopen ("3514.out", "w", stdout);
#endif
}

int n, m, k, type;

const int N = 2e5 + 1e3;

#define ls(o) ch[o][0]
#define rs(o) ch[o][1]

template<int Maxn>
struct Link_Cut_Tree {

	int ch[Maxn][2], fa[Maxn];

	inline bool is_root(int o) {
		return ls(fa[o]) != o && rs(fa[o]) != o;
	}

	inline bool get(int o) {
		return rs(fa[o]) == o;
	}

	PII val[Maxn], minv[Maxn];
	inline void push_up(int o) {
		minv[o] = min(min(minv[ls(o)], minv[rs(o)]), val[o]);
	}

	inline void rotate(int v) {
		int u = fa[v], t = fa[u], d = get(v);
		fa[ch[u][d] = ch[v][d ^ 1]] = u;
		fa[v] = t; if (!is_root(u)) ch[t][rs(t) == u] = v;
		fa[ch[v][d ^ 1] = u] = v;
		push_up(u); push_up(v);
	}

	bool rev[Maxn];

	inline void Get_Rev(int o) {
		rev[o] ^= 1; swap(ls(o), rs(o));
	}

	inline void push_down(int o) {
		if (rev[o])
			Get_Rev(ls(o)), Get_Rev(rs(o)), rev[o] = false;
	}

	void Push_All(int o) {
		if (!is_root(o)) Push_All(fa[o]); push_down(o);
	}

	inline void Splay(int o) {
		Push_All(o);
		for (; !is_root(o); rotate(o))
			if (!is_root(fa[o])) rotate(get(o) != get(fa[o]) ? o : fa[o]);
	}

	inline void Access(int o) {
		for (int t = 0; o; o = fa[t = o])
			Splay(o), rs(o) = t, push_up(o);
	}

	inline void Make_Root(int o) {
		Access(o); Splay(o); Get_Rev(o);
	}

	inline int Find_Root(int o) {
		Access(o); Splay(o);
		while (ls(o)) o = ls(o), push_down(o);
		Splay(o); return o;
	}

	inline void Split(int v, int u) {
		Make_Root(v); Access(u); Splay(u);
	}

	inline void Link(int v, int u) {
		Split(v, u); fa[v] = u;
	}

	inline void Cut(int v, int u) {
		Split(v, u); fa[v] = ls(u) = 0;
	}

};

Link_Cut_Tree<N << 1> T;

int font[N];

template<int Maxn>
struct President_Tree {

	int ls[Maxn], rs[Maxn], sumv[Maxn], Size;

	void Update(int &o, int pre, int l, int r, int up) {
		o = ++ Size; ls[o] = ls[pre]; rs[o] = rs[pre]; sumv[o] = sumv[pre] + 1;
		if (l == r) return ;
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (up <= mid) Update(ls[o], ls[pre], l, mid, up);
		else Update(rs[o], rs[pre], mid + 1, r, up);
	}

	int Query(int x, int y, int l, int r, int qr) {
		if (r <= qr) return sumv[y] - sumv[x];
		int mid = (l + r) >> 1, res = Query(ls[x], ls[y], l, mid, qr);
		if (qr > mid) res += Query(rs[x], rs[y], mid + 1, r, qr);
		return res;
	}

};

President_Tree<N * 20> PT;

int rt[N];

int main () {

	File();

	n = read(); m = read(); k = read(); type = read();

	For (i, 0, n)
		T.val[i] = T.minv[i] = mp(m + 1, i);

	For (i, 1, m) {

		int node = i + n;
		T.val[node] = T.minv[node] = mp(i, node);

		int u = read(), v = read();

		if (u != v) {
			T.Make_Root(u);
			if (T.Find_Root(v) == u) {
				T.Split(u, v); PII p = T.minv[v]; font[i] = p.fir;
				T.Cut(u, p.sec); T.Cut(v, p.sec);
			}
			T.Link(u, node); T.Link(v, node);
		} else font[i] = m;

		PT.Update(rt[i], rt[i - 1], 0, m, font[i]);

	}

	int ans = 0;
	For (i, 1, k) {
		int l = read() ^ (type * ans), r = read() ^ (type * ans);
		if (l > r) ans = 0;
		else ans = n - PT.Query(rt[l - 1], rt[r], 0, m, l - 1);
		printf ("%d\n", ans);
	}

	return 0;

}