线性空间和异或空间(线性基)bzoj4004贪心+高斯消元优秀模板
线性空间:是由一组基底构成的所有可以组成的向量空间
对于一个n*m的矩阵,高斯消元后的i个主元可以构成i维的线性空间,i就是矩阵的秩
并且这i个主元线性无关
/*
每个向量有权值,求最小权极大线性无关组 本题是使用贪心策略的高斯消元
由输入给出的n个物品,每个物品有m种属性,和价格price
如果a物品的属性可以由其他已有物品的属性组合出,那么a可以不必购买
问最少花掉多少钱,使得所有物品都可以组合出
首先构建n*m矩阵,然后高斯消元
在求第i个主元时,取价格最小的那个即可
可用反证法证明
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1005
#define ld long double
#define esp 1e-6
struct Vec{//带权向量
ld a[maxn];
int w;
bool operator<(const Vec & x)const {
return w<x.w;
}
}p[maxn];
int n,m; int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
cin>>p[i].a[j];
for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i].w);
sort(p+,p++n);//按权值从小到大排即可
int ans=,cnt=;
//高斯消元!
int i=,j=,Max,Maxw;
for(;i<=n && j<=m;i++,j++){
Max=i;
if(fabs(p[Max].a[j])>esp)//这里一定要加fabs,因为可能会有赋值
Maxw=p[Max].w;
else Maxw=; for(int k=i+;k<=n;k++)
if(fabs(p[k].a[j])>esp && p[k].w<Maxw){Max=k;Maxw=p[k].w;}
if(fabs(p[Max].a[j])<esp){i--;continue;} ans+=Maxw;cnt++;
if(Max!=i)//把Max换到第i行
swap(p[i],p[Max]); for(int k=;k<=n;k++)//把每行的第j个数消为0
if(k!=i){
ld r=(ld)p[k].a[j]/p[i].a[j];
for(int t=;t<=m;t++)
p[k].a[t]-=r*p[i].a[t];
p[k].a[j]=;
}
} printf("%d %d\n",cnt,ans);
}
网上找到一中贼快的高斯消元写法。。以后就用它了
思路是枚举矩阵上的每个元素,对于每个非0的A[i][j],如果A[i][j]可以作为主元,那么就把F[j](即第j列上的主元)标记为i,因为剩下的位如何已经不重要了,所以直接退出本轮循环,继续下一行
若A[i][j]不可以作主元,说明第j列已经有主元了,那么就用那个主元所在的行F[j]来消A[i][j]
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define double long double
const double eps=1e-;
struct str
{
double a[];
int v;
bool operator < (const str &s) const
{
return v<s.v;
}
}a[];
int n,m,f[];
int main()
{
int i,j,k,ans1=,ans2=;
double x;
cin>>n>>m;
for (i=;i<=n;i++)
for (j=;j<=m;j++)
cin>>a[i].a[j];
for (i=;i<=n;i++)
cin>>a[i].v;
sort(a+,a+n+);
for (i=;i<=n;i++)
for (j=;j<=m;j++)
if (fabs(a[i].a[j])>eps)
{
if (!f[j])//如果第j列还没有被作为秩,并且第i行第j列非0
{
f[j]=i;
ans1++;
ans2+=a[i].v;
break;
}
else//反之就用A[f[j]][j]来消去A[i][j]
{
x=a[i].a[j]/a[f[j]].a[j];
for (k=j;k<=m;k++)
a[i].a[k]-=a[f[j]].a[k]*x;
}
}
cout<<ans1<<" "<<ans2<<endl;
}
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