HDU 4607 Park Visit (树的最长链)
Park Visit
Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 523 Accepted Submission(s): 236
Claire is too tired. Can you help her?
Each test case begins with two integers N and M(1≤N,M≤105), which respectively denotes the number of nodes and queries.
The following (N-1) lines, each with a pair of integers (u,v), describe the tree edges.
The following M lines, each with an integer K(1≤K≤N), describe the queries.
The nodes are labeled from 1 to N.
4 2
3 2
1 2
4 2
2
4
4
题意:
一棵树,问从任意点出发,每次访问k个点走过的最少的边数
思路:我们可以这样考虑,假设我们走的起点为S,终点为T,那么路径S-T上的点我们必须都走到(因为是一棵树),那么如果路径S-T上的点大于或等于k,则我们只需要沿着路径一直走就行,所以最小长度为k-1,否则,我们一定是在路径上的一些点停下,然后转向其他分支然后再回来,此时才能满足一共走过k个点。假设从S到T的路径上一共有num个点,则最后我们要求的答案ans=num-1+?,这个?即为中间点(可以包括S和T)到别的分支再回来所要走的最小距离,因为每个分支互不影响,所以我们可以对每一个分支分开求,因为图为一棵树,所以我们即是求一棵子树从根节点到他的子节点中遍历x点再回来所要走的最短距离,我们可以有观察加数学归纳法证明这个值为2*x,即从一棵树的根结点往他的子树遍历x个点再回来的最小距离为2*x,所以?=2*(k-num),所以答案ans=num-1+(k-num)*2,要是这个值最小,则要使num最大,所以我们只要求得该树的直径即可,以下时代码,求树的直径是个很经典的问题了,
算法证明:(转)
树的直径(Diameter)是指树上的最长简单路。
直径的求法:两遍BFS (or DFS)
任选一点u为起点,对树进行BFS遍历,找出离u最远的点v
以v为起点,再进行BFS遍历,找出离v最远的点w。则v到w的路径长度即为树的直径
*简单证明
于是原问题可以在O(E)时间内求出
关键在于证明第一次遍历的正确性,也就是对于任意点u,距离它最远的点v一定是最长路的一端。
如果u在最长路上,那么v一定是最长路的一端。可以用反证法:假设v不是最长路的一端,则存在另一点v’使得(u→v’)是最长路的一部分,于是len(u→v’) > len(u→v)。但这与条件“v是距u最远的点”矛盾。
如果u不在最长路上,则u到其距最远点v的路与最长路一定有一交点c,且(c→v)与最长路的后半段重合(why?),即v一定是最长路的一端
因为是树是连通的,所以u必有一条路径c和最长路径L相交,len(c)>=1,L被分为两部分,一部分l1,一部分l2
假设第一次dfs过后,所求最长路径lu端不在L上,那么len(lu)>=len(c)+len(l1)(l1,l2对称,取l1或者l2都一样)
len(l2+c+lu)>len(l1+l2),矛盾.
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> using namespace std; const int VM=; struct Edge{
int to,nxt;
}edge[VM<<]; int n,m,cnt,head[VM];
int dis[VM]; void addedge(int cu,int cv){
edge[cnt].to=cv; edge[cnt].nxt=head[cu];
head[cu]=cnt++;
} void DFS(int u){
for(int i=head[u];i!=-;i=edge[i].nxt){
int v=edge[i].to;
if(dis[v]==-){
dis[v]=dis[u]+;
DFS(v);
}
}
} int main(){ //freopen("input.txt","r",stdin); int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
cnt=;
memset(head,-,sizeof(head));
int u,v;
for(int i=;i<n;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
addedge(u,v);
addedge(v,u);
}
memset(dis,-,sizeof(dis));
dis[]=;
DFS();
int len=;
for(int i=;i<=n;i++)
if(dis[i]>len){
len=dis[i];
u=i;
}
memset(dis,-,sizeof(dis));
dis[u]=;
DFS(u);
len=;
for(int i=;i<=n;i++)
if(dis[i]>len)
len=dis[i];
len++; //加一是因为刚开始的时候那点并不需要走1个距离,加一之后再与k比较
int k;
while(m--){
scanf("%d",&k);
if(len>=k)
printf("%d\n",k-);
else
printf("%d\n",(len-)+(k-len)*);
}
}
return ;
}
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