北大poj-1091

跳蚤

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Description

Z 城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤 发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S， 然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15,
18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持
有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。

当确定N和M后，显然一共有M^N张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

两个整数N和M(N <= 15 , M <= 100000000)。

Output

可以完成任务的卡片数。

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Hint

这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),

(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

Source

HNOI 2001

 

分析：很经典很经典的数论题目，为了做这道题目真是又学习了一把 欧几里得原理 和 容斥原理。这道题目学习为主。

参考：http://blog.csdn.net/crescent__moon/article/details/19327879?utm_source=tuicool&utm_medium=referral

解题：

给你两个正整数n，m，让你求长度为n+1的满足条件的一个等式:a[1]*x1+a[2]*x2+a[3]*x3+...+a[n]*xn+a[n+1]*x(n+1)=1 (0<=a[i]<=m&&a[n+1]=m)

让你求一共有多少种情况满足这个条件。

要使得 a[1]*x1+a[2]*x2+a[3]*x3+...+a[n]*xn+a[n+1]*m=1 (0<=a[i]<=m)，那么a[1],a[2],a[3]....a[n+1]的最大公约数为1.

要解决此题，你需要知道的知识有扩展欧几里得，鸽巢原理，以及递归求所有的排列组合。

许多博客都举了这么一个例子：

例如:n=2,m=360 
360=3^2*2^3*5  所有不满足条件的数列，最大公约数是360质因子的乘积，只要将这些组合去掉，就是要求的答案(不懂的慢慢揣摩)

那么就要先求出m的所有质因子，然后求出总的排列组合的个数，即题目中说的M^N，最后根据鸽巢原理求得最后答案。

公式为：ans=M^N-(有奇数个公因数的n元组)+(有偶数个公因数的n元组)。拿上面的例子来说就是

ans=m^n-( 有公因数2的n元组)- (有公因数3的n元组)- (有公因数5的n元组)+ (有公因数2，3的n元组) +(有公因数2，5的n元组)+ (有公因数3，5的n元组)- (有公因数2，3，5的n元组).

有公因数d的n元组，每个位置上有 (m/d)个选择（1 ~ m里面有m/d个d的倍数），根据乘法原理，可以得出有公因数d的n元组有 (m/d)^n 个.

 

 //容斥原理  + 欧几里得原理
 #include<stdio.h>

 #define M 100000

 long long factors[M],reorder[M];
 long long n,m,factorNum,per;

 void factoring()//分解质因子，存在factors里面
 {
     factorNum=;
     long long max=m;
     int i = ;
     for(i=;i*i<=max;i++)
     {
         if(max%i==)factors[factorNum++]=i;
         while(max%i==)max/=i;
     }
     if(max!=)factors[factorNum++]=max;
 }

 long long power(long long base, long long index)//求x^y
 {
     long long k=base;
     long long i = ;
     for(i=; i<index; i++)
         base*=k;
     return base;
 }

 void dfs(long long start,long long pos,long long FactorNum4Reorder)
 {
     long long i = ;
     if(pos==FactorNum4Reorder)
     {
         long long t=m;
         for(i=; i<FactorNum4Reorder; i++)
         {
             t/=reorder[i];//t表示每位上有几个包含质因子的数
         }
         per+=power(t,n);//总共有多少个
     }
     else
     {
         for(i=start; i<factorNum; i++)//递归回溯求解所有排列组合
         {
             reorder[pos]=factors[i];
             dfs(i+,pos+,FactorNum4Reorder);
         }
     }
 }

 int main()
 {
     long long i = ;
     while(scanf("%I64d%I64d",&n,&m)!=EOF)
     {
         factoring();
         long long ans=power(m,n);
         for(i=; i<=factorNum; i++)
         {
             per=;
             dfs(,,i);
             if(i%)ans-=per;//如果有奇数个公因数的n元组就相减
             else ans+=per;//如果有奇数个公因数的n元组就相加
         }
         printf("%I64d\n",ans);
     }
     return ;
 }