要求答对一半或以上就算过关,请问有多少组答案能使他顺利过关。

逆向思维,求答错一半或以下的组数

1,错排

错排公式的由来

  pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?
  这个问题推广一下,就是错排问题: n个有序的元素应有n!种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排。
递推的方法推导错排公式

  当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
  第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
  第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
  综上得到
  M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
  特殊地,M(1)=0,M(2)=1

2,组合

答对 i 个人,即答错 n - i 个人,共有C(n, n - i) * M[n - i] 组答案

其中C(n, n - i) 就是从 n 个人选出 n - i 个人的组合数

代码如下:

  1. #include<stdio.h>
  2. #include<iostream>
  3. using namespace std;
  4. __int64 f[] = {, };
  5. void init()
  6. {
  7. for(int i = ; i <= ; i ++)
  8. f[i] = (i - ) * (f[i - ] + f[i - ]);//i 个人全错排的组数
  9. }
  10. __int64 C(int n, int m)
  11. {
  12. __int64 s = ;
  13. for(int i = ; i <= m; i ++)
  14. s = s * (n - i + ) / i;//乘后立即除,防止溢出,但不可写成s *= (n - i + 1) / i,(n - i + 1) / i 这个表达式有可能不能整除
  15. return s; //导致结果变小
  16. }
  17. int main()
  18. {
  19. init();
  20. int n;
  21. while(~scanf("%d", &n), n)
  22. {
  23. __int64 sum = ;
  24. for(int i = ; i <= n / ; i ++) //组合,从n个人选i个让她们错排,则是猜对了n - i个MM,i从0到n/2,求的是猜对n到n/2个MM的组数
  25. sum += C(n, i) * f[i];
  26. cout <<sum <<endl;
  27. }
  28. return ;
  29. }

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