【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/efficient-method-to-solve-gcd-problem.html

【题目】

  求两个正整数的最大公约数Greatest Common Divisor (GCD)。如果两个正整数都很大,有什么简单的算法吗?例如,给定两个数1 100 100 210 001, 120 200 021,求出其最大公约数。

【解法】


【1. 辗转相除法】

辗转相除法:f(x,y) = f(y , x % y)(x>y)

f(42,30) = f(30,12) = f(12,6) = f(6,0) = 6

【代码】

 C++ Code 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
 
/*
    version: 1.0
    author: hellogiser
    blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser
    date: 2014/7/8
*/

int gcd(int x, int y)
{
    if(x < y)
        return gcd(y, x);
    )
        return x;
    else
        return gcd(y, x % y);
}

此方法中用到了取模运算,对于大整数而言,取模运算(其中用到了除法)开销是非常昂贵的,将成为整个算法的瓶颈。


【2. 辗转相减法】

辗转相减法:f(x,y) = f(y, x-y) (x>y)

f(42,30) = f(30,12) = f(12,18) = f(18,12) = f(12,6)=f(6,6)=f(6,0)=6

【代码】

 C++ Code 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
 
/*
    version: 1.0
    author: hellogiser
    blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser
    date: 2014/7/8
*/

int gcd(int x, int y)
{
    if(x < y)
        return gcd(y, x);
    )
        return x;
    else
        return gcd(y, x - y);
}

这个算法免去了大整数除法的繁琐,但同样也有不足之处。最大的瓶颈是迭代的次数过多,如果出现(1 000 000 000,1)这类情况,那就相当让人郁闷了。


【3. 奇偶法】

奇偶法:

此种方法是将解法1)和解法2)结合起来,降低计算复杂度的同时也降低迭代次数。

1:若 x, y均为偶数,f (x,y) = 2 * f(x / 2, y / 2) = 2 * f(x >> 1, y >> 1)

2:若x为偶,而y为奇,f (x , y )  = f (x / 2, y) = f ( x >> 1, y)

3:若x为奇,y为偶,f ( x, y)  = f (x , y / 2) = f(x , y >> 1)

4:若x,y均为奇,f ( x, y ) = f (y , x - y)

在f(x, y) = f(y, x - y)之后,(x - y)是一个偶数,下一步一定会有除以2的操作。

因此最坏情况下时间复杂度为O(log2 (max(x,y)))。

f (42 , 30 ) = 2 * f (21,15)

= 2 * f (15,6)

= 2 * f (15,3)

= 2 * f (3,12)  =2 * f (12,3)

= 2 * f (6,3)

= 2 * f (3,3)

= 2 * f (3,0)

= 2 * 3

= 6

代码】

 C++ Code 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
 
/*
    version: 1.0
    author: hellogiser
    blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser
    date: 2014/7/8
*/

bool IsEven(int x)
{
    ;
}

int gcd(int x, int y)
{
    if(x < y)
        return gcd(y, x);
    )
        return x;
    else
    {
        if(IsEven(x))
        {
            if(IsEven(y)) //case 1,x,y均为偶数
);
            else  //case 2,x为偶,y为奇
, y);
        }
        else
        {
            if(IsEven(y)) //case 3,x为奇,y为偶
);
            else  //case 4,x,y均为奇
                return gcd(y, x - y);
        }
    }
}

【参考】

http://blog.csdn.net/ajioy/article/details/7478008

http://blog.csdn.net/rein07/article/details/6739688

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/efficient-method-to-solve-gcd-problem.html

2.7 编程之美--最大公约数的3种解法[efficient method to solve gcd problem]的更多相关文章

  1. java多线程编程题之连续打印abc的几种解法

    一道编程题如下: 实例化三个线程,一个线程打印a,一个打印b,一个打印c,三个线程同时执行,要求打印出6个连着的abc 题目分析: 通过题意我们可以得出,本题需要我们使用三个线程,三个线程分别会打印6 ...

  2. 【编程之美】2.5 寻找最大的k个数

    有若干个互不相等的无序的数,怎么选出其中最大的k个数. 我自己的方案:因为学过找第k大数的O(N)算法,所以第一反应就是找第K大的数.然后把所有大于等于第k大的数取出来. 写这个知道算法的代码都花了2 ...

  3. 【编程之美】CPU

    今天开始看编程之美 .第一个问题是CPU的使用率控制,微软的问题果然高大上,我一看就傻了,啥也不知道.没追求直接看答案试了一下.发现自己电脑太好了,4核8线程,程序乱飘.加了一个进程绑定,可以控制一个 ...

  4. 编程之美_1.1 让CPU占用率曲线听你指挥

    听到有人说让要写一个程序,让用户来决定Windows任务管理器的CPU占用率. 觉得很好奇.但第一个想法就是写个死循环.哈哈.不知道具体的占用率是多少,但至少能保证在程序运行时,CPU的占用率终会稳定 ...

  5. 编程之美的2.17,数组循环移位 & 字符串逆转(反转) Hello world Welcome => Welcome world Hello

    代码如下:(类似于编程之美的2.17,数组循环移位) static void Main(string[] args) { string input = "Hello World Welcom ...

  6. [质疑]编程之美求N!的二进制最低位1的位置的问题

    引子:编程之美给出了求N!的二进制最低位1的位置的二种思路,但是呢?但是呢?不信你仔细听我道来. 1.编程之美一书给出的解决思路 问题的目标是N!的二进制表示中最低位1的位置.给定一个整数N,求N!二 ...

  7. 编程之美 两个叶子的节点之间 最大距离 变种 leecode

    提交地址: https://oj.leetcode.com/problems/binary-tree-maximum-path-sum/ 说一下思路http://www.cnblogs.com/mil ...

  8. 编程之美之数独求解器的C++实现方法

    编程之美的第一章的第15节.讲的是构造数独.一開始拿到这个问题的确没有思路, 只是看了书中的介绍之后, 发现原来这个的求解思路和N皇后问题是一致的. 可是不知道为啥,反正一開始确实没有想到这个回溯法. ...

  9. 《编程之美》之如何控制CPU的暂用率固定在50%

    <编程之美>第一章 让CPU暂用率听你指挥的粗糙实现,如何控制CPU的暂用率固定在50% #include <stdio.h> #include <Windows.h&g ...

随机推荐

  1. 小菜鸟学 Spring-bean scope (一)

    this information below just for study record of mine. 默认情况下:Spring 创建singleton bean 以便于错误能够被发现. 延迟加载 ...

  2. hdu3374 KMP+最大最小表示法

    这题要求的是字符串左移时字典序最小和最大的第几次出现,并求出现次数.考虑一会可以发现,出现次数和循环节是有关系的. 出现了几次,就是循环了几次,如果循环节是他本身,也就是无循环,那这个字符串不管怎么移 ...

  3. list 内部方法

    代码 #list内部方法 l=['a','9','c','a','3','7'] print(dir(l)) l.append('v') print(l)#append(self, p_object) ...

  4. GitHub 优秀的 Android 开源项目

    转自:http://blog.csdn.net/shulianghan/article/details/18046021 主要介绍那些不错个性化的View,包括ListView.ActionBar.M ...

  5. BZOJ-1226 学校食堂Dining 状态压缩DP

    1226: [SDOI2009]学校食堂Dining Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB Submit: 588 Solved: 360 [Submit][ ...

  6. BZOJ-1880 Elaxia的路线 SPFA+枚举

    1880: [Sdoi2009]Elaxia的路线 Time Limit: 4 Sec Memory Limit: 64 MB Submit: 921 Solved: 354 [Submit][Sta ...

  7. 洛谷P1134 阶乘问题

    题目描述 也许你早就知道阶乘的含义,N阶乘是由1到N相乘而产生,如: 12! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 = 479,001, ...

  8. POJ 1740 A New Stone Game

    A New Stone Game Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 30000K Total Submissions: 5453   Accepted: 2989 ...

  9. VMware 11安装Mac OS X 10.11.5虚拟机以及优化心得

    随着苹果WWC大会退出了MAC最新版的10.11.5,本着一颗“极客”的心情,在第一时间用VMWARE虚拟机装上了.然后各种卡顿这里分享一下优化mac虚拟机的心得. 1 从Dock上移除Dashboa ...

  10. Spring学习4-面向切面(AOP)之schema配置方式

    一.通过Scheme配置实现AOP步骤(Spring AOP环境的环境与上篇博文 Spring接口方式相同)    步骤一.编写业务类: public class AspectBusiness {   ...