原问题:骨牌覆盖问题
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描述

骨牌,一种古老的玩具。今天我们要研究的是骨牌的覆盖问题:
我们有一个2xN的长条形棋盘,然后用1x2的骨牌去覆盖整个棋盘。对于这个棋盘,一共有多少种不同的覆盖方法呢?
举个例子,对于长度为1到3的棋盘,我们有下面几种覆盖方式:

提示:骨牌覆盖

提示:如何快速计算结果

输入

第1行:1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行:1个整数,表示覆盖方案数 MOD 19999997

样例输入
62247088
样例输出
17748018

提示:骨牌覆盖

我们考虑在已经放置了部分骨牌(灰色)的情况下,下一步可以如何放置新的骨牌(蓝色):

最右边的一种情况是不可能发生的,否则会始终多一个格子没有办法放置骨牌。或者说灰色部分的格子数为奇数,不可能通过1x2个骨牌放置出来。
那么通过对上面的观察,我们可以发现:
在任何一个放置方案最后,一定满足前面两种情况。而灰色的部分又正好对应了长度为N-1和N-2时的放置方案。由此,我们可以得到递推公式:
f[n] = f[n-1] + f[n-2];
这个公式是不是看上去很眼熟?没错,这正是我们的费波拉契数列。
f[0]=1,f[1]=1,f[2]=2,...


提示:如何快速计算结果

当N很小的时候,我们直接通过递推公式便可以计算。当N很大的时候,只要我们的电脑足够好,我们仍然可以直接通过递推公式来计算。
但是我们学算法的,总是这样直接枚举不是显得很Low么,所以我们要用一个好的算法来加速(装X)。
事实上,对于这种线性递推式,我们可以用矩阵乘法来求第n项。对于本题Fibonacci数列,我们希望找到一个2x2的矩阵M,使得(a, b) x M = (b, a+b),其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩阵。
显然,只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了:

进一步得到:

那么接下来的问题是,能不能快速的计算出M^n?我们先来分析一下幂运算。由于乘法是满足结合律的,所以我们有:

不妨将k[1]..k[j]划分的更好一点?

其中(k[1],k[2]...k[j])2表示将n表示成二进制数后每一位的数字。上面这个公式同时满足这样一个性质:

结合这两者我们可以得到一个算法:
1. 先计算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)},因为该数列满足递推公式,时间复杂度为O(logN)
2. 将指数n二进制化,再利用公式将对应的a^j相乘计算出a^n,时间复杂度仍然为O(logN)
则总的时间复杂度为O(logN)
这种算法因为能够在很短时间内求出幂,我们称之为“快速幂”算法。


 #include <iostream>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int M = ;
struct Matrix
{
int m[][];
Matrix operator*(Matrix& a)
{
Matrix res;
res.m[][] = ((ll)m[][]*a.m[][]+(ll)m[][]*a.m[][])%M; // (ll)防止数据溢出
res.m[][] = ((ll)m[][]*a.m[][]+(ll)m[][]*a.m[][])%M;
res.m[][] = ((ll)m[][]*a.m[][]+(ll)m[][]*a.m[][])%M;
res.m[][] = ((ll)m[][]*a.m[][]+(ll)m[][]*a.m[][])%M;
return res;
}
}; Matrix pow(Matrix m, int n)
{
Matrix res;
if(==n)
return m;
res = pow(m, n/);
if(n%==)
res = res*res*m;
else
res = res*res;
return res;
} int main()
{
int N;
cin>>N; Matrix mat;
mat.m[][]=;
mat.m[][]=;
mat.m[][]=;
mat.m[][]=;
mat = pow(mat, N); cout<<mat.m[][]; return ;
}

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