二叉查找树的平衡（DSW算法）

树适合于表示某些领域的层次结构（比如Linux的文件目录结构），使用树进行查找比使用链表快的多，理想情况下树的查找复杂度O(log(N))，而链表为O(N)，但理想情况指的是什么情况呢？一般指树是完全平衡的时候。哪最坏的情况是什么呢？就是树退化为链表的时，这时候查找的复杂度与链表相同。就失去了树结构的意义。所以树的平衡是非常重要的，这一节我们主要讨论树的平衡问题。

如果树中任一节点的两个子树的高度差为0或者1，该二叉树就是高度平衡的。 上图中，A是平衡二叉搜索树，B是不平衡的，C直接退化为链表了。

为保持树的平衡，有两种策略，一种是全局的，即当插入和删除操作完毕后，对树进行重建，全局调整树为平衡树；另一种是局部调整，即当插入或者删除导致树不平衡时就立即在局部范围内调整，使树保持平衡，这个是后面要讨论的AVL树。下面我们先讨论一下全局调整的方法。

有序数组创建二叉查找树

要想实现树的平衡，最简单的想法是我们可以设想一下将树的所有节点从小到大排序后，将中间值作为根节点，左侧的值作为左子树，右侧的所有值作为右子树，每个子树再按根节点的划分方法，以此类推，代码表示如下：

// data是排序后的数组
template<class T>
void BST<T>::balance (T data[], int first, int last) {
    if (first <= last) {
        int middle = (first + last)/2; //父节点，这种方法相当于一层一层的构造下一层子节点的父节点
        insert(data[middle]);
        balance(data,first,middle-1);   //左子树再递归调用继续构造
        balance(data,middle+1,last);    //右子树再递归调用继续构造
    }
}

哪怎么得到有序数组呢？直接用排序算法排序？在二叉查找树中，这种方法比较笨，可以利用二叉查找树的性质，中序遍历得到有序序列。可以先对树做中序遍历，得到排序数组，再用balance进行平衡。

为什么二叉查找树中序遍历得到有序序列呢？这和二叉查找树的定义有关，对于二叉查找树中的一个节点，其左子树的值小于该节点，其右子树的值大于该节点。而中序遍历是：左->中->右，这个顺序，刚好是从小到大的顺序。比如上图中的A、B、C三颗二叉查找树，只要是数据相同的二叉查找树，不管怎么排列，中序遍历的结果都是相同的{10,15,20,23,25,30}。

这种办法是比较笨的办法，代价比较大，等于是完全重新建立二叉查找树，有没有聪明一点的方法呢？下面DSW算法就是比较聪明的办法。

DSW算法（Day–Stout–Warren algorithm）

主要思路：

• 先将任意的二叉查找树转化为类似于链表的树，成为主链或主干（backbone or vine）；
• 围绕主链中第二个节点的父节点，反复将其旋转，将这棵被拉伸的树在一系列步骤中转化为完全平衡的树；

第一阶段：右旋转形成主链

其中涉及旋转（左旋转、右旋转）的操作，我们先看一下右旋转的逻辑，左旋转与右旋转对称，伪代码如下：

/************************************************************************
 *  子节点Ch围绕父节点Par的右旋转
 *   Before      After
 *    Gr          Gr
 *     \           \
 *     Par         Ch
 *    /  \        /  \
 *   Ch   Z      X   Par
 *  /  \            /  \
 * X    Y          Y    Z
 ***********************************************************************/
rotateRight(Gr, Par, Ch)
    if Par不是树的根节点    //即Gr节点存在
        将Ch转作为Gr的右子节点（即，Gr作为Ch的父节点）
    Ch的右子树转作为Par的左子树
    节点Ch将Par作为右子节点

接下来开始DSW算法的第一阶段：创建主链：伪代码如下：

// 创建主链，采用右旋转，将所有的左子树都旋转到主链上，最后形成一条右子树（单链形式）
createBackbone(root)
    tmp = root;
    while (tmp != 0)
        if tmp有左子节点
            围绕tmp旋转该子节点；    //该左子节点将成为tmp的父节点
            tmp设置为刚刚成为父节点的子节点；
        else
            将tmp设置为它的右子节点；

其过程如下图所示：



可以看到，右旋的过程就是不断把左子树旋转到主链的过程。

第二阶段：左旋转转换为平衡树

右旋转形成主链后，下个阶段需要左旋转，我们看一下左旋转，分析思路与右旋转相同，下图中节点D围绕节点B左旋转，

/************************************************************************
 *  子节点Ch围绕父节点Par的左旋转
 *   Before             After
 *    Gr                Gr
 *     \                 \
 *     Par(B)            Ch(D)
 *    /  \              /  \
 *   A    Ch(D)      Par(B) E
 *       /  \         /  \
 *      C    E       A    C
 ***********************************************************************/
rotateLeft(Gr, Par, Ch)
    if Par不是树的根节点    //即Gr节点存在
        将Ch转作为Gr的右子节点（即，Gr作为Ch的父节点）
    Ch的左子树转作为Par的右子树
    节点Ch将Par作为左子节点

通过右旋转形成主链后，开始第二阶段：主链转换为平衡树：伪代码如下：

// 需要注意的是，每次顺着主链向下操作时，每隔两个节点，都围绕其父节点进行旋转
createPerfectTree
    n = 节点数；
    m = 2^[log(n+1)]-1； //计算当前节点数n与最接近完全平衡二叉树中节点数之间的差，多出的节点将单独处理
    从主链的顶部开始做n-m次旋转；   //从主链的顶部第二个节点开始，每隔一个节点进行左旋
    while (m > 1)   // 上面单独处理的结束，开始下面的处理
        m = m/2;
        从主链的顶部开始做m次旋转； //从主链的顶部第二个节点开始，每隔一个节点进行左旋

过程如下图所示：

最开始，左旋转2次，之后进入while循环。进入while循环后，第1轮左旋转3次，第2轮左旋转1次，然后得出平衡树。最后还是要注意，是间隔1个节点围绕其父节点进行旋转（或者说是每次从主链根节点开始，偶数节点围绕奇数节点左旋转）。可以看到，左旋转就是不断将左右子树进行平衡的过程。

DSW算法源代码

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<list>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;

//栈实现
template<class T>
class Stack : public stack<T> {
public:
	T pop() {
		T tmp = stack<T>::top();
		stack<T>::pop();
		return tmp;
	}
};

//队列实现
template<class T>
class Queue : public queue<T> {
public:
	T dequeue() {
		T tmp = queue<T>::front();
		queue<T>::pop();
		return tmp;
	}
	void enqueue(const T& el) {
		queue<T>::push(el);
	}
};

//树节点类
template<class T>
class Node {
public:
	Node():left(NULL),right(NULL){}
	Node(const T& e,Node<T>* l=NULL,Node<T>*r=NULL):data(e),left(l),right(r){}
	~Node(){}
	T data;
	Node* left;
	Node* right;
};

//二叉查找树的实现类
template<class T>
class BST {
public:
	BST():root(NULL),count(0){}
	BST(T* a, int len);	//根据数组中的数据构造树，调试测试用
	~BST() {
		clear();
	}
	bool isEmpty() const {
		return NULL == root;
	}
	void clear() {
		clear(root);
		root = NULL;
	}
    uint count;
	void insert(const T&);		//插入
	void inorder() {//深度遍历之中序树遍历
		inorder(root);
	}
	void breadthFirst();		//广度优先遍历
	virtual void visit(Node<T>* p) {
		cout << p->data << ' ';
	}
protected:
	Node<T>* root; //根节点
	void clear(Node<T>*);
	void inorder(Node<T>*);
};

//根据数组中的内容构造树
template<class T>
BST<T>::BST(T* a, int len) {
	root = NULL;
	count = 0;
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		insert(a[i]);
	}
}

//清除节点p及其子节点
template<class T>
void BST<T>::clear(Node<T> *p) {
	if (p != NULL) {
		clear(p->left);
		clear(p->right);
		delete p;
	}

    count = 0;
}

//插入，非递归形式
template<class T>
void BST<T>::insert(const T& el) {
	Node<T> *p = root, *prev = NULL;
	while (p != NULL) {  // find a place for inserting new node;
		prev = p;
		if (el < p->data)
			p = p->left;
		else p = p->right;
	}
	if (root == NULL)    // tree is empty;
		root = new Node<T>(el);
	else if (el < prev->data)
		prev->left = new Node<T>(el);
	else prev->right = new Node<T>(el);

    ++count;
}

//广度优先遍历（从上到下，从左到右，一层一层的向下访问）
template<class T>
void BST<T>::breadthFirst() {
	Queue<Node<T>*> m_queue;	//要理解这里为什么要用队列，这个队列的作用是把下一层的数据放到本层数据的后面
	Node<T>* p = root;
	if (p != NULL) {
		m_queue.enqueue(p);
		while (!m_queue.empty()) {
			p = m_queue.dequeue();
			visit(p);
			if (p->left != NULL)
				m_queue.enqueue(p->left);
            if (p->right != NULL)
				m_queue.enqueue(p->right);
		}
	}
}

//中序遍历，递归实现
template<class T>
void BST<T>::inorder(Node<T> *p) {
	if (p != NULL) {
		inorder(p->left);
		visit(p);
		inorder(p->right);
	}
}

template<class T>
class DswBST: public BST<T> {
public:
	DswBST(T* a, int len);    //根据数组中的数据构造树，调试测试用
    void dswBalance();
protected:
    void createBackbone();
    void creatPerfectTree();
    void rotateRight(Node<T>* Gr, Node<T>* Par, Node<T>* Ch);
    void rotateLeft(Node<T>* Gr, Node<T>* Par, Node<T>* Ch);
};

template<class T>
DswBST<T>::DswBST(T* a, int len) {
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		this->insert(a[i]);
	}
}

template<class T>
void DswBST<T>::dswBalance() {
	createBackbone();
    creatPerfectTree();
}

// 二叉查找树转化成主链的过程分析
/**********************************************************************************************
*  5 <-tmp         5               5               5              5
*   \               \               \               \               \
*    10             10              10              10              10
*      \              \               \               \               \
*       20            15              15              15              15
*      /  \             \               \               \               \
*     15  30            20              20              20              20
*         / \             \              \                \               \
*        25 40            30 <-tmp       25 <-tmp         23               23
*       /  \             /  \           /  \               \                \
*     23    28          25   40        23   30              25              25
*                      /  \                /  \              \                \
*                     23   28             28   40            30 <-tmp         28
*                                                           /  \               \
*                                                          28  40               30
*                                                                                \
*                                                                                 40 <-tmp
***********************************************************************************************/
template<class T>
void DswBST<T>::createBackbone() {
	Node<T> *Gr = 0, *Par = this->root, *Ch = 0;
	while(Par != 0) {
		Ch = Par->left;
		if(Ch != 0) {
			rotateRight(Gr, Par, Ch);
			Par = Ch;
		} else {
			Gr = Par;
			Par = Par->right;
		}
		// 旋转过程中，如果是绕根节点的右节点旋转时要将根节点置为原根节点的右节点
		if(Gr == 0)
            this->root = Ch;
	}
}

/************************************************************************
 *  子节点Ch围绕父节点Par的右旋转
 *   Before      After
 *    Gr          Gr
 *     \           \
 *     Par         Ch
 *    /  \        /  \
 *   Ch   Z      X   Par
 *  /  \            /  \
 * X    Y          Y    Z
 ***********************************************************************/
template<class T>
void DswBST<T>::rotateRight(Node<T>* Gr, Node<T>* Par, Node<T>* Ch) {
	if(Gr != 0)
        Gr->right = Ch;
	Par->left = Ch->right;
	Ch->right = Par;
}

template<class T>
void DswBST<T>::rotateLeft(Node<T>* Gr, Node<T>* Par, Node<T>* Ch) {
	if(Gr != 0)
        Gr->right = Ch;
	Par->right = Ch->left;
	Ch->left = Par;
}

template<class T>
void DswBST<T>::creatPerfectTree() {
    int n = this->count;
    if (n < 3) {
        return; //节点数目小于3不用平衡
    }
	int m = (1 << ((int)(log10(n+1)/log10(2)))) - 1;
	Node<T> *Gr = 0;
    Node<T> *Par = this->root;
    Node<T> *Ch = this->root->right;

    this->root = this->root->right; //修改root指针
    // 第一阶段： 左旋n-m次
	for(int i = 0; i < n - m; i++) {
		rotateLeft(Gr, Par, Ch);
        Gr = Ch;
        Par = Gr->right;
        if (0 != Par) {
            Ch = Par->right;
        } else {
            break;
        }
	}

    // 第二阶段，进入while循环
	while( m > 1) {
		m = m >> 1;
		Node<T> *Gr = 0;
        Node<T> *Par = this->root;
        Node<T> *Ch = this->root->right;

        this->root = this->root->right;
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            rotateLeft(Gr, Par, Ch);
            Gr = Ch;
            Par = Gr->right;
            if (0 != Par) {
                Ch = Par->right;
            } else {
                break;
            }
        }
	}
}

int main()
{
	int a[] = { 5,10,20,15,30,25,40,23,28};
	DswBST<int> tree(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
    tree.breadthFirst();
    cout << endl;
	tree.inorder();
	cout << endl;

    tree.dswBalance();
    tree.breadthFirst();
	cout << endl;
    tree.inorder();
    return 0;
}

DSW论文：One-Time Binary Search Tree Balancing:

The Day/Stout/Warren (DSW) Algorithm