「模拟赛20180306」回忆树 memory LCA+KMP+AC自动机+树状数组

题目描述

回忆树是一棵树，树边上有小写字母。

一次回忆是这样的：你想起过往,触及心底……唔,不对,我们要说题目。

这题中我们认为回忆是这样的：给定 $2$ 个点 $u,v$ ($u$ 可能等于 $v$)和一个非空字符串 $s$ ,问从 $u$ 到 $v$ 的简单路径上的所有边按照到 $u$ 的距离从小到大的顺序排列后，询问边上的字符依次拼接形成的字符串中给定的串 $s$ 出现了多少次。

输入

第一行 $2$ 个整数,依次为树中点的个数 $n$ 和回忆的次数 $m$。

接下来 $n-1$ 行,每行 $2$ 个整数 $u,v$ 和 $1$ 个小写字母 $c$ ，表示回忆树的点$u,v$之间有一条边，边上的字符为$c$。

接下来 $2m$ 行表示 $m$ 次回忆，每次回忆 $2$ 行:第 $1$ 行 $2$ 个整数 $u,v$，第 $2$ 行给出回忆的字符串 $s$。

输出

对于每次回忆,输出串 $s$ 出现的次数。

样例

样例输入

样例输出

数据范围

$1≤n,m≤10^5$

询问字符串的总长度不超过$3\times10^5$

题解

这是一道神题，做法优美而且巧妙（同时也很恶心）。

既然是树链上的询问，就不能不让人想到利用$LCA$把$u\xrightarrow{}v$的路径转化成$u\xrightarrow{}lca$，$lca\xrightarrow{}v$的两条路径了。

那么我们就可以把询问分成三部分。

$lca\xrightarrow{}u$上$s$的反串出现了多少次
$lca\xrightarrow{}v$上$s$出现了多少次
跨越$lca$时，$s$出现了多少次

可以发现，第一部分和第二部分其实是类似的问题，我们先放一放。

那么我们考虑第三个问题，好像没有什么很简单的方法，于是我们考虑暴力。

很容易发现这一种情况下涉及的字符串不长，只有$u\xrightarrow{}lca$路径上的$\left|s\right|$个和$v\xrightarrow{}lca$路径上的$\left|s\right|$个。我们可以暴力取出这一段字符，然后做一次$KMP$，这样一次的复杂度是$O(\left|s\right|)$，总时间复杂度就是$O(\sum\left|s\right|)$，完全可以过。

现在就剩前两个问题了。我们发现询问串太多，一个个做显然很吃力，这时，$AC$自动机的方法就呼之欲出了。我们把所有询问串做成一个$AC$自动机，把整棵树带进去匹配即可。

匹配的过程很简单，模拟字符串匹配的时候即可，从根开始，依次访问子树，进栈的时候答案加，出栈的时候答案减即可，然后把询问的区间标记一下，到达合适的区间就计算答案。

但是这样还有一个问题，$AC$自动机上的答案是要给$fail$链上的所有点增加的，暴力加显然会超时。于是我们修改一下做法，预处理出$fail$树的先序遍历序列，然后建立树状数组（一个比较显然的性质，同一颗子树的遍历序列是连续的）。于是修改的时候单点修改，查询的时候查询$fail$树上的子树和即可。

然而，这道题说起来很轻巧，却是一道码农题……并且还卡常数……卡常数！！！

所以，我还是把我$250$行的代码拿出来吧……

$Code:$

#include <queue>

#include <vector>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define M 600005

queue<int>q;

int n, m;

int f[25][M], dep[M], fa[M];

int L[M], R[M], ans[M], ens[M], plc[M];

vector<int>B[M], E[M];

char len[M], top[M], S[M];

struct node

{

    int fir[M], tar[M], nex[M], cnt;

}T1, T2;

void add(int a, int b, char c)

{

    ++T1.cnt;

    T1.tar[T1.cnt] = b;

    len[T1.cnt] = c;

    T1.nex[T1.cnt] = T1.fir[a];

    T1.fir[a] = T1.cnt;

}

void add(int a, int b)

{

    ++T2.cnt;

    T2.tar[T2.cnt] = b;

    T2.nex[T2.cnt] = T2.fir[a];

    T2.fir[a] = T2.cnt;

}

//dfs-begin

void dfs(int r)

{

    for (int i = T1.fir[r]; i; i = T1.nex[i])

    {

        int v = T1.tar[i];

        if (v != fa[r])

        {

            fa[v] = r;

            dep[v] = dep[r] + 1;

            top[v] = len[i];

            dfs(v);

        }

    }

}

//dfs-end

//LCA-begin

int LCA(int u, int v)

{

    if (dep[u] < dep[v])

        swap(u, v);

    int k = dep[u] - dep[v];

    for (int i = 20; i >= 0; i--)

        if (k & 1 << i)

            u = f[i][u];

    if (u == v)

        return u;

    for (int i = 20; i >= 0; i--)

        if (f[i][u] != f[i][v])

            u = f[i][u], v = f[i][v];

    return f[0][u];

}

int getk(int u, int k)

{

    for (int i = 0; i <= 20; i++)

        if (k & 1 << i)

            u = f[i][u];

    return u;

}

//LCA-end

//KMP-begin

char K[M];

int nex[M];

void KMP(int a, int b, int c, int ls, int w)

{

    int len = 0;

    while (a != c)

        K[len++] = top[a], a = fa[a];

    int z = dep[b] - dep[c];

    len += dep[b] - dep[c];

    while (b != c)

        K[--len] = top[b], b = fa[b];

    len += z;

    K[len] = 0;

    nex[0] = -1;

    int i = 0, j = -1, ans = 0;

    while(i < ls)

    {

        if (j == -1 || S[i] == S[j])

            nex[++i] = ++j;

        else

            j = nex[j];

    }

    i = 0, j = 0;

    while(i < len)

    {

        if (j == ls)

        {

            ans++;

            j = nex[j];

            continue;

        }

        if(j == -1 || K[i] == S[j])

            i++, j++;

        else

            j = nex[j];

    }

    if (j == ls)

        ans++;

    ens[w] += ans;

}

//KMP-end

//ACTrie-begin

struct ACTrie

{

    int nex[M][30], fail[M], in[M], out[M];

    int root, cnt, tim, dfn[M], id[M];

    int tree[M];

    ACTrie(){root = cnt = 1;}

    void Insert(char *S, int w)

    {

        int r = root, len = strlen(S);

        for (int i = 0; i < len; i++)

        {

            int val = S[i] - 'a';

            if (!nex[r][val])

                nex[r][val] = ++cnt;

            r = nex[r][val];

        }

        plc[w] = r;

    }

    void Build()

    {

        int r = root;

        fail[r] = r;

        q.push(root);

        while (!q.empty())

        {

            r = q.front();

            q.pop();

            for (int i = 0; i < 26; i++)

            {

                if (nex[r][i])

                {

                    int tmp = nex[fail[r]][i];

                    if (tmp && tmp != nex[r][i])

                        fail[nex[r][i]] = tmp;

                    else

                        fail[nex[r][i]] = root;

                    q.push(nex[r][i]);

                }

                else

                {

                    int tmp = nex[fail[r]][i];

                    if (tmp)

                        nex[r][i] = tmp;

                    else

                        nex[r][i] = root;

                }

            }

            if (r != root)

                add(fail[r], r);

        }

    }

    void DFS(int r)

    {

        dfn[r] = ++tim;

        in[r] = tim;

        id[tim] = r;

        for (int i = T2.fir[r]; i; i = T2.nex[i])

        {

            int v = T2.tar[i];

            DFS(v);

        }

        out[r] = tim;

    }

    void Update(int x, int v)

    {

        for (int i = x; i <= cnt; i += i & -i)

            tree[i] += v;

    }

    int Getsum(int x)

    {

        int ans = 0;

        for (int i = x; i; i -= i & -i)

            ans += tree[i];

        return ans;

    }

}AC;

//ACTrie-end

void dfs2(int r, int now)

{

    AC.Update(AC.dfn[now], 1);

    int s = B[r].size();

    for (int i = 0; i < s; i++)

        ens[(B[r][i] + 1)/ 2] -= AC.Getsum(AC.out[plc[B[r][i]]]) - AC.Getsum(AC.in[plc[B[r][i]]] - 1);

    s = E[r].size();

    for (int i = 0; i < s; i++)

        ens[(E[r][i] + 1)/ 2] += AC.Getsum(AC.out[plc[E[r][i]]]) - AC.Getsum(AC.in[plc[E[r][i]]] - 1);

    for (int i = T1.fir[r]; i; i = T1.nex[i])

    {

        int v = T1.tar[i];

        if (v != fa[r])

            dfs2(v, AC.nex[now][len[i] - 'a']);

    }

    AC.Update(AC.dfn[now], -1);

}

int main()

{

    //freopen("memory.in", "r", stdin);

    //freopen("memory.out", "w", stdout);

    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 1; i < n; i++)

    {

        int a, b;

        char c[5];

        scanf("%d%d%s", &a, &b, c);

        add(a, b, c[0]);

        add(b, a, c[0]);

    }

    dfs(1);

    for (int i = 1; i <= n; i++)

        f[0][i] = fa[i];

    for (int i = 1; i <= 20; i++)

        for (int j = 1; j <= n; j++)

            f[i][j] = f[i - 1][f[i - 1][j]];

    int w = 0;

    for (int i = 1; i <= m; i++)

    {

        int u, v, c;

        scanf("%d%d%s", &u, &v, S);

        c = LCA(u, v);

        int l1 = dep[u] - dep[c], l2 = dep[v] - dep[c], ls = strlen(S);

        int a = getk(u, max(0, l1 - ls + 1));

        int b = getk(v, max(0, l2 - ls + 1));

        KMP(a, b, c, ls, i);

        w++;

        AC.Insert(S, w);

        B[b].push_back(w);

        E[v].push_back(w);

        w++;

        for (int i = 0; i < ls / 2; i++)

            swap(S[i], S[ls - i - 1]);

        AC.Insert(S, w);

        B[a].push_back(w);

        E[u].push_back(w);

    }

    AC.Build();

    AC.DFS(AC.root);

    dfs2(1, AC.root);

    for (int i = 1; i <= m; i++)

        printf("%d\n", ens[i]);

}