C. Heidi and Library

题意

有 n 种分别具有价格 b 的书 a ,图书馆里最多同时存放 k 本书,已知接下来 n 天每天都有一个人来看某一本书,如果图书馆里没有则需要购买,问最少花费多少钱。

分析

这道题的一个简单版本 ,默认所有书价格为1,那么只需要用 set 维护一下,当图书馆内库存满的时候 erase 掉距离最大的书(贪心做法)。

但是有了价格之后,就不能贪心了,然后这道题就可以用神奇的网络流解决。准确的说是最小费用最大流。

所有边的容量为 1,将 n 个点拆成 2n 个点(2i,2i + 1),2i 和 2i + 1 连边,花费 -INF(因为求的最小费用,这里保证了 n 个点都会经过到),源点 S 连边 2i,费用为 b[a[i]] ,2i + 1 连边汇点 T,费用为 0 。遍历 n 个点,2i + 1 连边 2j ,如果 a[j] == a[i] ,费用为 0,否则费用为 b[a[j]]。

以上就是建图的过程,我们可以把 k 当作网络流的流量,以样例1为例。

4 80 // n k
1 2 2 1 // 看的书的种类
1 1 1 1 // 价格

当 k = 1 时,



首先最小费用流会保证一次跑完所有费用为 -INF 的边,保证了经过所有点,那么 k = 1 其实就是除非连续的几天种类相同,不然都要扔掉,买另一种书,我们在加边的时候已经处理了,比如相邻的边 (3 -> 4) 费用为 0。这种情况下花费为 3。



当 k = 2 时,引入新边 (S -> 2),它会走边(2 -> 1),这个边其实就是网络流提供给算法一种 “反悔” 的策略,如蓝色轨迹所示,其中(1 -> 2,2 -> 1)(5 -> 6,6 -> 5)两对边,全部抵消掉了。



那么其实在 k = 2 时,真正的策略如上图轨迹所示,我们可以将 k 当作 k 个放书的位置,每个位置互不影响,其中第一个位置存放 1 这本书,在第 0 天和第 3 天分别被借阅,第二个位置存放 2 这本书,在第 1 天和第 2 天分别被借阅 。

首先用 -INF 保证所有点都被按顺序访问到(第一次搜索时),在根据 k 的值,不断的做出 “反悔” 策略,最终达到最小费用。

注意:当判断到 dis[T] >= 0 时就要退出了,这个时候多加的 k 也毫无意义了。最后答案加上 n * INF。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 10; //
const int MAXM = 2e5 + 5; // 注意扩张的边的数量
const ll INF = 1e9;
struct Edge {
int to, next, cap, flow, cost;
} edge[MAXM * 4];
int head[MAXN], tol;
int pre[MAXN];
ll dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
int N;
void init(int n) {
N = n;
tol = 0;
memset(head, -1, sizeof head);
memset(pre, 0, sizeof pre);
memset(dis, 0, sizeof dis);
memset(vis, 0, sizeof vis);
memset(edge, 0, sizeof edge);
}
void addedge (int u, int v, int cap, int cost) {
edge[tol] = Edge{v, head[u], cap, 0, cost};
head[u] = tol++;
edge[tol] = Edge{u, head[v], 0, 0, -cost};
head[v] = tol++;
}
bool spfa(int s, int t) {
queue<int>q;
for(int i = 0; i < N; i++) {
dis[i] = INF * INF;
vis[i] = false;
pre[i] = -1;
}
dis[s] = 0;
vis[s] = true;
q.push(s);
while(!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
vis[u] = false;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
int v = edge[i]. to;
if(edge[i].cap > edge[i].flow &&
dis[v] > dis[u] + edge[i].cost) {
dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;
pre[v] = i;
if(!vis[v]) {
vis[v] = true;
q.push(v);
}
}
}
}
return dis[t] < 0;
}
int a[MAXN], b[MAXN];
int main() {
int n, k;
cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> b[i];
}
init(MAXN);
int s = 2 * n, t = 2 * n + 1;
for(int i = 0; i < n; i++) {
addedge(s, 2 * i, 1, b[a[i]]);
addedge(2 * i + 1, t, 1, 0);
addedge(2 * i, 2 * i + 1, 1, -INF);
}
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = i + 1; j < n; j++) {
addedge(2 * i + 1, 2 * j, 1, a[i] == a[j] ? 0 : b[a[j]]);
}
}
ll cost = 0;
for(int i = 0; i < k; i++) {
if(!spfa(s, t)) break;
for(int j = pre[t]; j != -1; j = pre[edge[j^1].to]) {
edge[j].flow++;
edge[j^1].flow--;
}
cost += dis[t];
}
cout << cost + 1LL * n * INF<< endl;
return 0;
}

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