Codechef October Challenge 2018 游记

CHSERVE - Chef and Serves

题目大意：

乒乓球比赛中，双方每累计得两分就会交换一次发球权。

不过，大厨和小厨用了另外一种规则：双方每累计得 K 分才会交换发球权。比赛开始时，由大厨发球。

给定大厨和小厨的当前得分（分别记为 P1 和 P2），请求出接下来由谁发球。

思路：

$(P1+P2)\%K$判断奇偶性即可。

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BITOBYT - Byte to Bit

题目大意：

在字节国里有三类居民：

比特：在比特出现 2 毫秒后，它会变成一个半字节；
半字节：在半字节出现 8 毫秒后，它会变成一个字节；
字节：在字节出现 16 毫秒后，它会变成两个比特。

在第 0 毫秒时，字节国里只有一个比特。大厨想知道第 N 毫秒之前（即介于第 N − 1 和第 N 秒之间）字节国的人口。请求出 N 毫秒之前字节国的每类居民各有多少。
$N\le10^4$

思路：

按题意模拟即可。
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MINDSUM - Minimize Digitsum

题目大意：

给定正整数 N 和 D。你可以进行下面两种操作：

令 N 加上 D；
令 N 为 digitsum(N)。

其中，digitsum(x) 代表 x 的各位数之和。例如，digitsum(123) = 1 + 2 + 3 = 6，digitsum(100) =
1 + 0 + 0 = 1。

你可以以任意顺序进行任意次操作。请求出 N 可以达成的最小值，以及达成该最小值所需的最少操作次数。

$1\le N,D\le10^{10}$

思路：

最小值可以通过$N,D$的$\operatorname{digitsum}$来确定。而最少操作次数相当有限，BFS即可。

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HMAPPY - Appy and Balloons

题目大意：

Appy 最喜欢气球！她想要你连续 N 天（编号 1 ∼ N）都送她气球，第 i 天 Appy 想要 Ai 个气球。不巧的是，你只有 M 个气球。幸运的是，你可以用糖果代替气球送给她。在第 i 天，你每少给 Appy 一个气球，Appy 就会找你要 Bi 颗糖果。具体地，如果第 i 天你给了 Xi 个气球，那么你还需要给她 Ci = max(0, Ai − Xi) · Bi 颗糖果。

你的目标是最小化一天之内给 Appy 的糖果数量，换言之，最小化 max(C1, . . . , CN )。

1 ≤ N ≤ $10^5$
0 ≤ M ≤ $10^{18}$
0 ≤ Ai ≤ $10^9$
0 ≤ Bi ≤ $10^9$

思路：

二分答案。二分上界取$10^{18}$。

（讲道理最大会达到10^{23}左右，但是不知道为什么一直WA，最后改成$10^{18}$就过了。）

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CCIRCLES - Chef and Circles

题目大意：

平面上有 N 个圆。我们称圆 i 和 j (i ̸= j) 形成一个好的二元组，当且仅当可以在圆 i 上选择一点 P1，圆 j 上选择一点 P2，使得 P1 和 P2 的欧氏距离恰好为 K。注意 P1 和 P2 可以不是整点。

你需要回答 Q 个询问。每个询问给定目标距离 K，你需要求出此时有多少好的二元组。请注意，可能有多个圆重合。

思路：

将所有圆对间最远、近点对处理出来，排序。线性扫一遍，遇到近点对+1，远点对-1。

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SURCHESS - Chef and Surprise Chessboard

题目大意：

大厨喜欢下国际象棋，所以他买了一块 N 行 M 列的新棋盘。
大厨认为行列数相等，且相邻（即有公共边）的格子颜色不同（也就是所谓的“棋盘格”）的棋盘才是正确的棋盘。不过，大厨新买的这块棋盘未必是正确的。

一块棋盘的子棋盘定义为原棋盘中以任意格子作为左上角，任意格子作为右下角的部分。原棋盘本身也是自己的子棋盘。

大厨可以改变一些格子的颜色，即从白变黑或者从黑变白。在完成改变之后，大厨想从原棋盘上切出面积最大的正确的子棋盘。

大厨还没想好要改变几个格子的颜色。于是，他有 Q 个询问，第 i 个询问中大厨最多改变 ci 个格子的颜色（也可以不改变）。请你告诉大厨，在每个询问的限制下，能切出的面积最大的正确子棋盘的边长。

1 ≤ N, M ≤ 200
1 ≤ Q ≤ $10^5$
0 ≤ ci ≤ $10^9$

思路：

对于点$(i,j)$，若$i+j$为奇数则将该格子颜色翻转，题目就变成了求最大同色矩阵。

动态规划前缀和优化求出每个矩阵至少需要多少步能够同色。然后求出翻转$i$步能翻转出多大的矩阵，最后对于每次询问可$\mathcal O(1)$回答。

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BBRICKS - Beautiful Bricks

题目大意：

大厨决定装修自己的餐厅。顾客进入餐厅，需要走过一段笔直的走廊。走廊两侧贴了瓷砖，
每侧有 N 块。所有瓷砖大小相同，且两块瓷砖之间没有缝隙。
不巧的是，所有瓷砖颜色相同，看着有些乏味。大厨想让走廊变得五彩斑斓，为此他准备替
换恰好 K 块瓷砖，而且任意两块替换的瓷砖都不能相邻。
大厨现在要解决一个很复杂的问题：有多少种替换瓷砖的方案数？由于答案可能很大，请输
出其对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

1 ≤ T ≤ 5
1 ≤ N ≤ $10^9$
1 ≤ K ≤ 1, 000

思路：

OEIS得到答案为$\mathrm A104698(n-1,k-1)\times2$。

对阶乘分段打表即可。

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