LOJ 2339 「WC2018」通道——边分治+虚树

题目：https://loj.ac/problem/2339

两棵树的话，可以用 CTSC2018 暴力写挂的方法，边分治+虚树。O(nlogn)。

考虑怎么在这个方法上再加一棵树。发现很难弄。

看了看题解，发现两棵树还有别的做法。

　　就是要最大化 d1[ x ] + d2[ x ] + d1[ y ] + d2[ y ] - 2*d1[ lca1(x,y) ] - 2*d2[ lca2(x,y) ] ，考虑在第一棵树 T1 上 dfs 地枚举 lca1 ，那么考虑的答案就是 T1 上在当前点 cr 的不同子树里的 x 和 y 。

　　考虑 cr 的之前子树 v1 和当前子树 v2 怎么合并。 v1 和 v2 都记录着自己子树里的答案的两个点 x 和 y 。

　　似乎根据树的直径证明的类似方法可以得知 cr 的 x 就是 v1 和 v2 的 x 中的一个， cr 的 y 就是 v1 和 v2 的 y 中的一个。

　　所以把两个 x 和两个 y 组合一下，看看谁的 d1[ x ] + d2[ x ] + d1[ y ] + d2[ y ] - 2*d2[ lca2(x,y) ] 最小，谁就是 cr 的 x 和 y 。

　　做完 cr 之后，因为要换 lca1 了，所以先贡献一下答案，就是把 cr 记录的 x 和 y 按上面要最大化的那个式子贡献给答案。

　　只要 RMQ 求 lca 就可以 O(n) 。

所以三棵树就是在这个两棵树的做法上给第三棵树套一个边分治。

就是在当前边分治的情况下，枚举 lca1 ，式子变成最大化 d1[ x ] + d2[ x ] + d3[ x ] + d1[ y ] + d2[ y ] + d2[ y ] - 2*d1[ lca1(x,y) ] - 2*d2[ lca2(x,y) ] + tw，其中 d1[ ] , d2[ ] 是在树 T1 和 T2 上的带权深度，d3[ ] 是在 T3 上到分治中心边的距离， tw 是分治中心边的权值。

枚举 lca1 之后，不仅 x 和 y 不能在 T1 上 lca1 的同一棵子树中，且 x 和 y 还得分别是 T3 的分治中心两边的点，所以 T2 上 DP 的时候，每个点要记两对 ( x , y ) ，表示 T3 两边的直径。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
#define pil pair<int,ll>
#define pb push_back
#define mkp make_pair
using namespace std;
ll rdn()
{
  ll ret=;bool fx=;char ch=getchar();
  while(ch>''||ch<''){if(ch=='-')fx=;ch=getchar();}
  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
ll Mx(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
ll Mn(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
const int N=2e5+,K=; const ll INF=1e18;
int n,tn,hd[N],xnt=,to[N<<],nxt[N<<];ll w[N<<];
int siz[N],mn,Rt,lx[N]; vector<pil> vt[N];
ll d1[N],d2[N],d3[N],ans;
namespace T3{
  int hd[N],xnt,to[N<<],nxt[N<<];ll w[N<<];
  int dep[N],bg[N],en[N],tim,st[N][K],lg[N],bin[K+];
  void add(int x,int y,ll z)
  {
    to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;
    to[++xnt]=x;nxt[xnt]=hd[y];hd[y]=xnt;w[xnt]=z;
  }
  void ini_dfs(int cr,int fa)
  {
    bg[cr]=++tim; st[tim][]=cr;
    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
      if((v=to[i])!=fa)
    {
      dep[v]=dep[cr]+; d3[v]=d3[cr]+w[i];
      ini_dfs(v,cr); st[++tim][]=cr;/////
    }
    en[cr]=tim;
  }
  void init()
  {
    ll z;
    for(int i=,u,v;i<n;i++)
      u=rdn(),v=rdn(),z=rdn(),add(u,v,z);
    ini_dfs(,); int tn=n<<;
    for(int i=;i<=tn;i++)lg[i]=lg[i>>]+;
    bin[]=;for(int i=;i<=lg[tn];i++)bin[i]=bin[i-]<<;
    for(int t=;t<=lg[tn];t++)
      for(int i=;i+bin[t]-<=tn;i++)
    {
      int u=st[i][t-], v=st[i+bin[t-]][t-];
      st[i][t]=(dep[u]<dep[v]?u:v);
    }
  }
  int get_lca(int x,int y)
  {
    if(bg[x]>bg[y])swap(x,y); int d=lg[en[y]-bg[x]+];
    int c1=st[bg[x]][d], c2=st[en[y]-bin[d]+][d];
    int ret=dep[c1]<dep[c2]?c1:c2;
    return ret;
  }
}
namespace T2{
  int hd[N],xnt,to[N<<],nxt[N<<];ll w[N<<];
  int tim,a[N],ta[N],lca[N],tlca[N],dep[N],sta[N],top;
  struct Node{
    int x,y;ll w;
    Node(int x=,int y=,ll w=):x(x),y(y),w(w) {}
  }dp[N][];
  void add(int x,int y,ll z)
  {
    to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;
    to[++xnt]=x;nxt[xnt]=hd[y];hd[y]=xnt;w[xnt]=z;
  }
  void ini_dfs(int cr,int fa)
  {
    while(top&&dep[sta[top]]>=dep[cr])top--;
    a[++tim]=cr; lca[tim]=sta[top]; sta[++top]=cr;
    for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
      if((v=to[i])!=fa)
    {
      dep[v]=dep[cr]+; d2[v]=d2[cr]+w[i];
      ini_dfs(v,cr);
    }
  }
  void init()
  {
    ll z;
    for(int i=,u,v;i<n;i++)
      u=rdn(),v=rdn(),z=rdn(),add(u,v,z);
    ini_dfs(,);
  }
  ll calc(int x,int y)
  {
    ll ret=d1[x]+d1[y]+d2[x]+d2[y]+d3[x]+d3[y];
    int tmp=T3::get_lca(x,y);
    ret-=(d3[tmp]<<1ll);
    return ret;
  }
  Node operator+ (const Node &a,const Node &b)
  {
    int x1=a.x,y1=a.y,x2=b.x,y2=b.y;
    Node ret=Node(,,-); ll tmp;
    if(x1&&x2)
      { tmp=calc(x1,x2); if(tmp>ret.w)ret=Node(x1,x2,tmp);}
    if(x1&&y2)
      { tmp=calc(x1,y2); if(tmp>ret.w)ret=Node(x1,y2,tmp);}
    if(y1&&x2)
      { tmp=calc(y1,x2); if(tmp>ret.w)ret=Node(y1,x2,tmp);}
    if(y1&&y2)
      { tmp=calc(y1,y2); if(tmp>ret.w)ret=Node(y1,y2,tmp);}
    return ret;
  }
  Node mx(Node a,Node b){ return a.w>b.w?a:b;}
  void link(int cr,int v,ll tw)
  {
    ll tmp=d2[cr]<<1ll;
    ans=Mx(ans,(dp[cr][]+dp[v][]).w+tw-tmp);
    ans=Mx(ans,(dp[cr][]+dp[v][]).w+tw-tmp);
    dp[cr][]=mx(dp[cr][],mx(dp[v][],dp[cr][]+dp[v][]));
    dp[cr][]=mx(dp[cr][],mx(dp[v][],dp[cr][]+dp[v][]));
    dp[v][]=dp[v][]=Node(,,-);
  }
  int solve(int l,int r,ll tw)
  {
    sta[top=]=a[l];
    for(int i=l+;i<=r;i++)
      {
    int lm=dep[lca[i]];
    while(top&&dep[sta[top]]>lm)
      {
        if(dep[sta[top-]]>lm)link(sta[top-],sta[top],tw);
        else link(lca[i],sta[top],tw);
        top--;
      }
    if(sta[top]!=lca[i])sta[++top]=lca[i];
    sta[++top]=a[i];
      }
    for(int i=top-;i;i--)link(sta[i],sta[i+],tw);
    dp[sta[]][]=dp[sta[]][]=Node(,,-);
    int mid=l-;
    for(int i=l,tl=;i<=r;i++)
      {
    if(!tl||dep[lca[i]]<dep[tl])tl=lca[i];
    if(!lx[a[i]]) ta[++mid]=a[i], tlca[mid]=tl, tl=;
      }
    int ret=mid;
    for(int i=l,tl=;i<=r;i++)
      {
    if(!tl||dep[lca[i]]<dep[tl])tl=lca[i];
    if(lx[a[i]]) ta[++mid]=a[i], tlca[mid]=tl, tl=;
      }
    for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=ta[i];
    for(int i=l;i<=r;i++)lca[i]=tlca[i];
    return ret;
  }
}
void add(int x,int y,ll z)
{
  to[++xnt]=y;nxt[xnt]=hd[x];hd[x]=xnt;w[xnt]=z;
  to[++xnt]=x;nxt[xnt]=hd[y];hd[y]=xnt;w[xnt]=z;
}
void del_ed(int x,int y)
{
  if(to[hd[x]]==y)hd[x]=nxt[hd[x]];
  else
    {
      for(int i=hd[x],pr;i;pr=i,i=nxt[i])
    if(to[i]==y){nxt[pr]=nxt[i];break;}
    }
  if(to[hd[y]]==x)hd[y]=nxt[hd[y]];
  else
    {
      for(int i=hd[y],pr;i;pr=i,i=nxt[i])
    if(to[i]==x){nxt[pr]=nxt[i];break;}
    }
}
void Rbuild(int cr,int fa)
{
  for(int i=,lst=,lm=vt[cr].size();i<lm;i++)
    {
      int v=vt[cr][i].first;ll z=vt[cr][i].second;
      if(v==fa)continue;
      if(!lst)add(cr,v,z), lst=cr;
      else{ tn++; add(lst,tn,); add(tn,v,z); lst=tn;}
    }
  for(int i=,v,lm=vt[cr].size();i<lm;i++)
    if((v=vt[cr][i].first)!=fa) Rbuild(v,cr);
}
void get_rt(int cr,int fa,int s)
{
  siz[cr]=;
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa)
      {
    get_rt(v,cr,s); siz[cr]+=siz[v];
    int mx=Mx(siz[v],s-siz[v]);
    if(mx<mn)mn=mx,Rt=i;
      }
}
void dfs(int cr,int fa,ll lj,bool fx)
{
  d1[cr]=lj; lx[cr]=fx;
  T2::dp[cr][fx]=T2::Node(cr,cr,);
  T2::dp[cr][!fx]=T2::Node(,,-);
  for(int i=hd[cr],v;i;i=nxt[i])
    if((v=to[i])!=fa) dfs(v,cr,lj+w[i],fx);
}
void solve(int cr,int s,int l,int r)
{
  int u=to[cr^], v=to[cr]; del_ed(u,v);
  dfs(u,,,); dfs(v,,,); ll tw=w[cr];
  int mid=T2::solve(l,r,tw);
  int ts=siz[v];
  if(ts>){mn=N;get_rt(v,,ts);solve(Rt,ts,mid+,r);}
  ts=s-ts;
  if(ts>){mn=N;get_rt(u,,ts);solve(Rt,ts,l,mid);}
}
int main()
{
  n=rdn();ll z;
  for(int i=,u,v;i<n;i++)
    {
      u=rdn();v=rdn();z=rdn();
      vt[u].pb(mkp(v,z)); vt[v].pb(mkp(u,z));
    }
  T2::init(); T3::init(); tn=n; Rbuild(,);
  mn=N;get_rt(,,tn);solve(Rt,tn,,n);
  printf("%lld\n",ans);
  return ;
}