NOIP提高组—— 问题求解 与 完善程序

问题求解1：

甲乙丙丁四人在考虑周末要不要外出郊游。

已知①如果周末下雨，并且乙不去，则甲一定不去；②如果乙去，则丁一定去；③如果丙去，则丁一定不去；④如果丁不去，而且甲不去，则丙一定不去。如果周末丙去了，则甲___去了___（去了/没去）(1 分)，乙___没去___（去

了/没去）(1 分)，丁____没去__（去了/没去）(1 分)，周末___没下雨___（下雨/没下雨）(2 分)。

分析：大水题，送分。只要别写错字就好了。

证明：

丙去了，联系③，丁不会去，一分 get

丁没去，联系②，乙不会去，一分 get

丁没去，丙去了，联系④，甲会去，一分 get

乙不去，甲去了，联系①，不会下雨，两分 get

问题求解2：

方程 a*b = (a or b) * (a and b)，在 a,b 都取 [0, 31] 中的整数时，共有   454   组解。（* 表示乘法；or 表示按位或运算；and 表示按位与运算）

分析：考场上蒙了蒙，感觉等式成立的条件应该是 a 是 b 二进制下的子集或者 b 是 a 的子集。

然鹅并没有证明出来，于是就组合数搞了一下水掉了

（我同桌其实也 A 掉了，而且他还证出来了只不过他算错了2333）。

于是证明一下：

不妨设 t = a- (a & b) 。(一开始我是设 t = a&b 的，所以死活证不出来)， 于是 (x | y) = (y+t)

然后我们将 t 带入式子，得到： $a * b = ( a - t ) * ( b + t )$ 。

然后展开

=>  $a * b = a*b + a*t - b*t - t*t$

=>  $a*t - b*t - t*t = 0$

=>  $t * (a - b - t) = 0$

=> 1. t=0   ;   2. a=b+t

考虑 t=0 的情况，t 等于零 意味着 a = a&b ，那么也就说明二进制下的 a 被包含于 b 中。

再考虑 a=b+t 的情况，这意味着 b=a&b，那么也就说明二进制下的 b 被包含于 a 中。

于是我们得出结论： 若原式成立，则在二进制下，a 是 b 的子集，或者 b 是 a 的子集。

然后我们考虑到如果 a=b ，那么原式必然成立，所以我们先将答案加上 32 (0~31每个数都与自己匹配)，然后我们去讨论 b 是 a 的 真 子集情况，然后把讨论出来的答案 * 2 累加上去就好了。

那么我们先考虑 a 的数值。如果说这时候我们枚举 32 次，答案也是能出来的，但是这样做不仅低效率而且容易出错，那么我们考虑在用二进制的方法枚举 a 。

其实既然说了 b 是 a 的二进制真子集了，那么其实 我们只需要枚举在 log32 位空格（也就是 5 个空格）里面，放 k(k=0~5) 个 1 的方案就好了，因为这些数对答案的贡献是相同的，都是 k 个 1 里面计算真子集数。

那么方案数也就是组合数 C(5，k) 了。然后我们考虑在这 k 个位置里面安排 b 。 那么 b 的数值方案数也还是组合数，就是 $sigma_{s=1}^{k} C（k，s）$ 了。

然后我们将 $sigma_{s=1}^{k} C（k，s）$ 乘上 C（5，k），再乘以二，累加进答案就好了。

最近我听说这道题是吉老师出的啊？而且原数据范围是 [ 0~1023 ] 啊？不过后来谁验题后改成 [ 0~32 ] 了？ 反正不是杜雨皓【逃】

于是我们得出结论：吉老师是铁了心要给 zjoi 选手盖上棺材板了 （但愿复赛...咳咳）

emmm...其实1024的范围用上面的方法是可以计算的（唔，别打脸），只不过麻烦了点，就是不知道要不要用到更高深的组合数学理论（反正我不会，组合数没好好学哈~）

完善程序1:

对于一个1到