NTT算法小结

从理论上说，经过人们优化的FFT已经十分优秀，能够处理大部分的多项式乘法，但是有的时候仍然会出现下面的情况：

1）常数仍然比较大

2）在进行与整数有关的FFT时，发现得到的结果是一堆诡异的数，你需要不停的和精度搏斗

那么在这时，你就需要学会快速数论变换（NTT）

前置芝士

快速傅里叶变换

你可以上网百度，或者看我的博客

阶与原根

我们由欧拉定理可以知道，对于任意的正整数$a、m$，如果满足$gcd(a,m)=1$，就有$a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m)$

但我们发现，还有一些数满足$a^p\equiv 1(mod\ m)$且$p< \varphi(m)$，因此人们定义了阶

设$m>1$，且$gcd(a,m)=1$，则满足$a^p\equiv 1(mod\ m)$的最小正整数$p$成为$a$对模$m$的阶，记作$\delta_m(a)$

于是就会有$\delta_m(a)|p$，充分性很显然，我们证一下必要性

我们设$p=\delta_m(a)·q+r$（其中$0\leq r < \delta_m(a)$）

那么$a^p=a^{\delta_m(a)·q}·a^r\equiv a^r\equiv 1(mod m)$

由$p$是最小正整数知$r=0$，所以$\delta_m(a)|p$

然后你就有了$\delta_m(a)|\varphi(p)$

好吧这个性质并没有什么用

由上面的欧拉定理，我们不难理解数学家们为什么搞出这么一个蛋疼的定义——原根

如果$\delta_m(a)=\varphi(m)$，那么称$a$是模$m$的一个原根，为了下面表述的方便我们将它记作$g$

我们发现原根有一个这样的性质：$g^0,g^1,g^2,\cdots,g^{\varphi(m)-1}$构成了一个模$m$的完全剩余系

证明：考虑反证法，即假设c存在$i,j$($i>j$)满足$g^i\equiv g^j(mod\ m)$

两边同时除以$g^j$，有$g^{i-j}\equiv 1$，而很明显$i-j<\varphi(m)$，这与原根的定义相矛盾

于是性质得证

性质验证

在FFT中，我们使用单位根的原因就是单位根满足的一些性质可以加速计算，如果原根也满足的话，那么我们在计算时可以直接替换

性质1

$w_n^0,w_n^1,w_n^2,\cdots,w_n^{n-1}$两两不同

这在上面已经得到了证明

性质2

$w_{2n}^{2p}=w_n^p$

如果$w_{n}=g^p$,那么就应该有$w_{2n}=g^{\frac{p}{2}}$，他们在乘上两倍的次幂之后值相等

性质3

$w_{n}^{\frac{n}{2}+p}=-w_n^p$

因为有$(g^{\frac{n}{2}})^2\equiv 1$，为了保持原根的定义，就会有$g^{\frac{n}{2}}\equiv -1(mod \ n)$

带回去运算即可

综上所述，原根满足原来的单位根所具有的性质，因此我们可以考虑用原根来代替单位根

实际运用

一点注意事项

1、原根的话在模数不确定的情况下需要自己求，不过如果模数是$998244353$或者$1004535809$的话，它们的原根是3

2、注意在IDFT的时候，原来直接除以的地方要换做求逆元

代码

#include<iostream>

#include<string>

#include<string.h>

#include<stdio.h>

#include<algorithm>

#include<math.h>

#include<vector>

#include<queue>

#include<map>

using namespace std;

#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)

typedef long long ll;

#define maxd 998244353

const double pi=acos(-1.0);

#define int long long

ll n,m,a[5005000],b[5005000];

int lim=1,r[5005000];

int qpow(int x,int y)

{

    int ans=1,sum=x;

    while (y)

    {

        int tmp=y%2;y/=2;

        if (tmp) ans=(1ll*ans*sum)%maxd;

        sum=(1ll*sum*sum)%maxd;

    }

    return ans;

}

void ntt(int lim,ll *a,int typ)

{

    int i;

    for (i=0;i<lim;i++)

        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);

    int mid;

    for (mid=1;mid<lim;mid<<=1)

    {

        int gn=qpow(3,(maxd-1)/(mid<<1));

        int sta,len=mid<<1,j;

        for (sta=0;sta<lim;sta+=len)

        {

            int g=1;

            for (j=0;j<mid;j++,g=(g*gn)%maxd)

            {

                int x1=a[j+sta],y1=(g*a[j+sta+mid])%maxd;

                a[j+sta]=(x1+y1)%maxd;

                a[j+sta+mid]=(x1-y1+maxd)%maxd;

            }

        }

    }

    if (typ==-1) reverse(&a[1],&a[lim]);

}

int read()

{

    int x=0,f=1;char ch=getchar();

    while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}

    while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}

    return x*f;

}

signed main()

{

    n=read();m=read();int i,cnt=0;

    for (i=0;i<=n;i++) a[i]=read();

    for (i=0;i<=m;i++) b[i]=read();

    while (lim<=n+m) {lim<<=1;cnt++;}

    for (i=0;i<=lim;i++)

        r[i]=((r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));

    ntt(lim,a,1);

    ntt(lim,b,1);

    for (i=0;i<=lim;i++) a[i]=(a[i]*b[i])%maxd;

    ntt(lim,a,-1);

    int tmp=qpow(lim,maxd-2);

    for (i=0;i<=n+m;i++)

    {

        a[i]=(a[i]*tmp)%maxd;

        printf("%lld ",a[i]);

    }

    return 0;

}