Atcoder Beginner Contest 121 D - XOR World(区间异或和)

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc121/tasks/abc121_d

题目很裸（Atcoder好像都比较裸

就给一个区间求异或和

n到1e12

肯定不能O(n)推

那肯定得通过异或的一些性质

用$f\left( a,b\right)$表示[a,b]区间的异或和

我只观察出了$f\left( 2^{a},2^{b}-1\right)$的异或和肯定为0。

通过$f\left( 2^{a},2^{a+1}-1\right)$每一位都会出现偶数次

例如 [4,8)

4 ： 100

5 ： 101

6 ： 110

7 ： 111

异或和就为0

那么的$f\left( 2^{a},2^{b}-1\right)$ = $f\left( 2^{a},2^{a+1}-1\right)$ ^ $f\left( 2^{a+1},2^{a+2}-1\right)$ ^ ... ^  $f\left( 2^{b-1},2^{b}-1\right)$ = 0

在这里参考了大佬的博客https://www.cnblogs.com/Mychael/p/8633365.html原来有结论orz

得到上述结论后 不难得到 $f\left( 0, n\right)$ = $f\left( 2^{k}, n\right)$

分奇偶来看

当n为奇数

那么$f\left( 2^{k}, n\right)$ k的那一位会出现 n - 2^{k} + 1次 也就是偶数次

那么最后结果最高位就为0了 $f\left( 2^{k}, n\right) = f\left( 0, n-2^{k}\right)$ 不清楚可以看下上面 4，5，6，7的例子

是不是最高位的1都可以减去了 也就是都减去4 $f\left( 4, 6\right) = f\left( 4 - 4, 6 - 4\right) = f\left( 0, 2\right)$ 没错吧！

$f\left( 0, n-2^{k}\right)$ 又可以表示为 $f\left( 0, n'\right) = f\left( 2^{k-1}, n'\right)$ 接着推推推

推到最后 到了0~4的范围里 为啥到4(2的2次)而不是到2(2的1次)呢

因为上述结论是 $f\left( 2^{a},2^{a+1}-1\right) = 0$ 如果a等于0了 $f\left( 2^{0},2^{1}-1\right) = f\left( 1,1\right) = 1 \neq 0$

所以结论只适用于a >= 1的情况 所以最后应该在0~4里面确定结论

$n\equiv 1\left( mod4\right)$ 那么最后还剩最末位一个1 即 $f\left( 0,n\right) =1$

$n\equiv 3\left( mod4\right)$ 那么最后还有1和3进行异或 最末位就为0了 即 $f\left( 0,n\right) =0$

n为偶数的时候（感觉原博主这部分的推导写错了 但结论是对的

假如这个n是2的次幂了 那么$f\left( 2^{a},n\right) = n$就ok了

如果不是的话 $f\left( 2^{k}, n\right)$ k的那一位会出现 n - 2^{k} + 1次 也就是奇数次 那么得保留

所以 $f\left( 2^{k}, n\right) = f\left( 0, n-2^{k}\right) Xor 2 ^{k}$ 这次得看$n-2^{k}$是否为2的次幂

是的话就是$f\left( 2^{k}, n\right) = f\left( 0, n-2^{k}\right) Xor 2 ^{k} = n-2^{k} Xor 2 ^{k} = n$

如果一直不是的话 就会把原来的n的每一位都积累起来 最后到$6 - 2^{2} = 2$ 这个时候最后还要异或上1 答案就是n+1

也就是 $n\equiv 0\left( mod4\right)$ $f\left( 0,n\right) =n$

$n\equiv 2\left( mod4\right)$ $f\left( 0,n\right) =n + 1$

总结成程序就是

int Xor(int a) {
    if (a %  == ) return a;
    if (a %  == ) return ;
    if (a %  == ) return a + ;
    return ;
}

答案即为$f\left( a, b\right) = f\left( 0, b\right) Xor f\left( 0, a-1\right)$

代码如下

#include <cstdio>
using namespace std;

long long Xor(long long a) {
    if (a %  == ) return a;
    if (a %  == ) return ;
    if (a %  == ) return a + ;
    return ;
}

int main() {
    long long a, b;
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    printf("%lld", Xor(a -) ^ Xor(b));
    return ;
}

推的过程比较混乱建议手动模拟一遍（￣▽￣）