CRT和EXCRT学习笔记

蒟蒻maomao终于学会\(CRT\)啦！发一篇博客纪念一下（还有防止忘掉）

\(CRT\)要解决的是这样一个问题：

$$x≡a_1​(mod m_1​)$$

$$x≡a_2​(mod m_2​)$$

$$x≡a_3​(mod m_3​)$$

$$...$$

$$x≡a_k​(mod m_k​)​$$

其中，\(m\)之间两两互质。这个问题有一个通解是\(\sum a_i * M * t_i / m_i\)，其中\(t_i\)代表方程\(M * t_i / m_i ≡ 1\)的最小正整数解。

为什么它是对的呢？对于任意一个式子\(x≡a_j(mod m_j)\)，通解中\(i = j\)的部分会贡献\(a_i\)的余数，而其它部分会贡献\(0\)的余数。

更一般的，我们来考虑如果\(m\)之间不互质的情况，由于打公式很累，所以详细请参考这个博客。

发一下\(exCRT\)的板子。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 100010;

int n, bi[N], ai[N];

int add (int a, int b, int mod) {
	return ((a + b) % mod + mod ) % mod;
}

int mul (int a, int b, int mod) {
    int res = 0;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
			res = (res + a) % mod;
		}
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
    int gcd = exgcd (b, a % b, x, y);
    int xx = y, yy = x - (a / b) * y;
    x = xx, y = yy;
	return gcd;
}

int excrt () {
    int x, y;
    int M = ai[1], ans = bi[1]; //通解是b[1] + a[1] * t ≡b[2] (mod a[2]);
	for(int i = 2; i <= n; ++i) {
		//M * x + a[i] * y = b[i] - ans;
		//其中 ans + M * x % lcm (M, b[i]) 就是新的通解
        //求出来的x是对于gcd (M, a[i])而言，所以要乘上c / gcd (M, a[i]);
		int a = M, b = ai[i], c = add (bi[i], -ans, b);
        int gcd = exgcd (a, b, x, y), bg = b / gcd;
        x = mul (x, c / gcd, ai[i]);
        ans += x * M;//更新前k个方程组的答案
        M *= bg;//M为前k个m的lcm
        ans = (ans %M + M) % M;
    }
    return ans;
}

signed main () {
    cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> ai[i] >> bi[i]; //b是余数，a是模数。
	}
	cout << excrt () << endl;
    return 0;
}