[SDOI2011]消防
某个国家有n个城市,这n个城市中任意两个都连通且有唯一一条路径,每条连通两个城市的道路的长度为zi(zi<=1000)。
这个国家的人对火焰有超越宇宙的热情,所以这个国家最兴旺的行业是消防业。由于政府对国民的热情忍无可忍(大量的消防经费开销)可是却又无可奈何(总统竞选的国民支持率),所以只能想尽方法提高消防能力。
现在这个国家的经费足以在一条边长度和不超过s的路径(两端都是城市)上建立消防枢纽,为了尽量提高枢纽的利用率,要求其他所有城市到这条路径的距离的最大值最小。
你受命监管这个项目,你当然需要知道应该把枢纽建立在什么位置上。
Solution
这题非常神,神在它有一堆解法。
首先考虑无脑暴力,枚举一个起点,一个终点,O(n)算出最长距离,更新答案,复杂度O(n^3)。
然后根据贪心的想法,我们选择的链一定在树的直径上。
设直径端点为s和t
我们可以扫描直径上的每个点,对于每个点确定唯一的最远距离,在DFS一遍更新答案,复杂度O(n^2)。
然后发现答案具有单调性,可以二分一个答案,在直径两端贪心的找出能达到的不超过答案的最远点,DFS一遍检查合法性,复杂度O(nlogn)
继续观察我们可以发现,对于直径上的一个点i,我们要确定一个j使得max(dis(s,i),dis(j,t),sigma(d[k]))最小
d[k]表示从k点出发不经过直径上任何一个点能达到的最远距离,预处理可以得到。
于是O(n)的做法就出现了。
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 300002
using namespace std;
queue<int>q;
bool vis[N];
int dis[N],tot,head[N],l1[N],nex[N],num,id,id2,s,n,ans,di,dis1[N],dis2[N],pre[N],l2[N];
struct zzh{
int n,to,l;
}e[N<<];
inline void add(int u,int v,int l){
e[++tot].n=head[u];
e[tot].to=v;
head[u]=tot;
e[tot].l=l;
}
void dfs(int u,int fa){
for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(e[i].to!=fa){
int v=e[i].to;
dfs(v,u);
if(!vis[v])dis[u]=max(dis[u],dis[v]+e[i].l);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&s);int u,v,w,an=;
for(int i=;i<n;++i)scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
q.push();vis[]=;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(!vis[e[i].to]){
int v=e[i].to;
dis[v]=dis[u]+e[i].l;
vis[v]=;
q.push(v);
}
}
for(int i=;i<=n;++i)if(dis[i]>an){
id=i;
an=dis[i];
}
an=;memset(dis,,sizeof(dis));memset(vis,,sizeof(vis));
q.push(id);vis[id]=;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=e[i].n)if(!vis[e[i].to]){
int v=e[i].to;
dis[v]=dis[u]+e[i].l;
pre[v]=u;
l2[v]=e[i].l;
vis[v]=;
q.push(v);
}
}
for(int i=;i<=n;++i)if(dis[i]>an){
an=dis[i];
id2=i;
}
memset(dis,,sizeof(dis));memset(vis,,sizeof(vis));
ans=0x3f3f3f3f;
for(int i=id2;i!=id;i=pre[i])l1[pre[i]]=l2[i],nex[pre[i]]=i;
for(int i=id;i!=id2;i=nex[i])vis[i]=,dis1[i]=di,di+=l1[i];vis[id2]=;dis1[id2]=di;
for(int i=id;i!=id2;i=nex[i])dis2[i]=di-dis1[i]; dis2[id2]=di-dis1[id2];
dfs(id,);int diss=id;
for(int i=id;i;i=nex[i]){
while(dis1[diss]-dis1[i]+l1[diss]<=s&&diss!=id2)diss=nex[diss];
// cout<<i<<" qwq"<<diss<<" "<<dis1[i]<<" "<<dis2[diss]<<endl;
ans=min(ans,max(dis1[i],dis2[diss]));
if(diss==i)diss=nex[diss];
if(i==id2)break;
}
for(int i=;i<=n;++i)if(vis[i])ans=max(ans,dis[i]);
cout<<ans;
return ;
}
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