【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间

题解：

矩阵树定理入门题

一个图的邻接矩阵G：对于无向图的边(u,v)，G[u][v]++,G[v][u]++

一个图的度数矩阵D：对于无向图的边(u,v)，D[u][u]++,D[v][v]++;

而通过这两个矩阵就可以构造出图G的基尔霍夫矩阵：C=D-G.

Matrix Tree定理：将图G的基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列(i可以取任意值，可以证明所得到的结果相同)，得到(n-1)*(n-1)的矩阵

Part 2 Matrix Tree定理在有向图上的拓展

Matrix Tree定理的拓展与延伸------有向图的Matrix Tree定理

对于有向图G，不存在生成树的概念，但存在树形图的概念。

树形图：以i点为根节点的树形图有(n-1)条边，从i节点出发可以到达其他所有(n-1)个节点.

定义： 有向图的邻接矩阵G：对于有向图的边(u,v)，G[u][v]++.

有向图的度数矩阵D：对于有向图的边(u,v)，D[v][v]++.

尤其需要注意的是：有向图的度数矩阵指的是一个点的入度，而不是出度。

而有向图的基尔霍夫矩阵的构造方式是一模一样的：C=D-G.

有向图Matrix Tree定理：

将有向图G的基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列，得到(n-1)*(n-1)的矩阵，

对这个矩阵进行行列式的值求解，abs(det(A))就是以i为根的树形图的个数。

行列式相关结论：

1. 行列式与它的转置行列式相等；

2. 互换行列式的两行（列），行列式变号；

3. 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；

4. 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；

5. 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和；

6. 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

在求解行列式时，我们利用高斯消元将其变为上三角矩阵，答案就是pai(a[i][i])

另外注意到高斯消元中有除法运算，但是这题中的模数并没有逆元，所以我们用辗转相除来减

另外注意到交换两行符号变号要记录一下

另外不是房间的点不要算

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define rint register ll
const ll mo=1e9;
char ss[<<],*A=ss,*B=ss;
char gc()
{
  return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,,<<,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
template<class T> void read(T &x)
{
  rint f=,c; while (c=gc(),c<||c>) if (c=='-') f=-; x=c^;
  while (c=gc(),c>&&c<) x=(x<<)+(x<<)+(c^);
}
ll n,m,s;
ll a[][],ff[][];
ll guass()
{
  s--;
  int cnt=;
  for (ll i=;i<=s;i++)
  {
   /* ll now=i;
    for (ll j=i+1;j<=s;j++)
      if (abs(a[j][i])>abs(a[now][i])) now=j;
    if (now!=i)
      for (ll j=1;j<=s;j++) swap(a[i][j],a[now][j]); */
    for (ll j=i+;j<=s;j++)
      while (a[j][i])
      {
        ll kk=a[i][i]/a[j][i];
        for (ll k=;k<=s;k++) a[i][k]=(a[i][k]-kk*a[j][k])%mo;
        for (ll k=;k<=s;k++) swap(a[i][k],a[j][k]);
        cnt++;
      }
  }
  ll ans=; if (cnt%) ans=-;
  for (ll i=;i<=s;i++)
    ans=(ans*a[i][i])%mo;
  return (ans+mo)%mo;
}
ll js(ll x,ll y)
{
  return(ff[x][y]);
}
void cl(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2)
{
  ll k1=js(x1,y1),k2=js(x2,y2);
  a[k1][k2]--; a[k2][k2]++;
}
char c[][];
int main()
{
  freopen("1.in","r",stdin);
  freopen("1.out","w",stdout);
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin>>n>>m;
  for (ll i=;i<=n;i++) cin>>c[i];
  int num=;
  for (ll i=;i<=n;i++)
    for (ll j=;j<=m;j++)
      if (c[i][j-]=='.') ff[i][j]=++num;
  for (ll i=;i<=n;i++)
    for (ll j=;j<=m;j++)
    {
      if (i!=n)
        if (c[i][j-]=='.'&&c[i+][j-]=='.')
          cl(i,j,i+,j);
      if (i!=)
        if (c[i][j-]=='.'&&c[i-][j-]=='.')
          cl(i,j,i-,j);
      if (j!=m)
        if (c[i][j-]=='.'&&c[i][j]=='.')
          cl(i,j,i,j+);
      if (j!=)
        if (c[i][j-]=='.'&&c[i][j-]=='.')
          cl(i,j,i,j-);
    }
  s=num;
  /*for (int i=1;i<=s-1;i++)
  {
    cout<<endl;
    for (int j=1;j<=s-1;j++)
      cout<<a[i][j]<<" ";
  }
  cout<<endl;*/
  cout<<guass();
  /* for (int i=1;i<=s;i++)
  {
    cout<<endl;
    for (int j=1;j<=s;j++)
      cout<<a[i][j]<<" ";
  }
  cout<<endl;*/
  return ;
}