Luogu4916 魔力环 莫比乌斯反演、组合、生成函数
先不考虑循环同构的限制,那么对于一个满足条件的序列,如果它的循环节长度为\(d\),那么与它同构的环在答案中就会贡献\(d\)次。
所以如果设\(f_i\)表示循环节长度恰好为\(i\)的满足条件的序列个数(不考虑循环同构),那么最后的答案就是\(\sum \frac{f_i}{i}\)。
所以问题变成了如何求\(f_i\)。注意到\(f_i\)直接求不是很好求,考虑计算\(cnt(\frac{n}{d} , \frac{m}{d})\)表示珠子数为\(\frac{n}{d}\)、黑色珠子数为\(\frac{m}{d}\)、不考虑循环同构的合法方案数,不难注意到\(\sum\limits_{i | d} f_i = cnt(\frac{n}{d} , \frac{m}{d})\)。所以只需要把所有\(cnt(\frac{n}{d} , \frac{m}{d})\)算出来然后莫比乌斯反演一下就可以得到所有\(f_i\)。
然后我们将原问题变成了不需要考虑循环同构的问题\(cnt(a,b)\)。
对于\(cnt(a,b)\),考虑\(a-b\)个白色球产生的\(a-b+1\)个区间,每一个区间内放入的黑色球的数量不能超过\(k\),且首尾放入的球的数量之和不能超过\(k\)。也就是要求\(\sum\limits_{i=0}^{a-b} x_i = b , \forall i , x_i \leq k , x_0 + x_{a-b} = k\)的满足条件的\(x\)序列的数量。不难得到这个序列的生成函数为\((\sum\limits_{i=0}^k x^i)^{a-b-1} (\sum\limits_{i=0}^k(i+1)x^i)\),我们要求的是它的\(x^b\)项系数。显然多项式快速幂不够优秀,考虑更快的方法。
由\(\sum\limits_{i=0}^k x_i = \frac{1 - x^{k+1}}{1 - x}\),可以得到
\((\sum\limits_{i=0}^k x^i)^{a - b - 1} = (1 - x^{k+1})^{a-b-1}(1 - x)^{-(a-b-1)}\)
\(\begin{align*}\sum\limits_{i=0}^k(i + 1)x^i &= \sum\limits_{i=0}^k \sum\limits_{j=i}^k x^i \\ &= \sum\limits_{i=0}^k\frac{x^i - x^{k+1}}{1 - x} \\ &= \frac{\sum\limits_{i=0}^k x^i - (k+1)x^{k+1}}{1-x} \\ &= \frac{\frac{1-x^{k+1}}{1-x} - (k+1)x^{k+1}}{1 - x} = \frac{1 - (k + 2)x^{k+1} + (k + 1)x^{k + 2}}{(1-x)^2} \end{align*}\)
所以生成函数可以变形为\((1 - x^{k+1})^{a-b-1}(1-x)^{-(a - b + 1)}(1 - (k + 2)x^{k+1} + (k+1)x^{k+2})\)
注意到最后的一部分多项式只有\(3\)项,意味着前面两项的卷积只有\(x^b,x^{b - k - 1} , x^{b-k-2}\)项会对\(x^b\)项系数产生贡献
而由二项式定理可知
\((1 - x^{k+1})^{a-b-1} = \sum\limits_{i=0}^{a-b-1} \binom{a-b-1}{i} (-1)^i x^{ki+i},(1 - x)^{-(a-b+1)} = \sum\limits_{i=0}^{+\infty} \binom{-(a-b+1)}{i}(-1)^i x^i = \sum\limits_{i=0}^{+\infty} \binom{a - b + i}{i}x^i\)
故设\(A = \sum\limits_{ki+i+j = b} \binom{a-b-1}{i} (-1)^i \binom{a-b+j}{j} , B = \sum\limits_{ki+i+j = b - k - 1} \binom{a-b-1}{i} (-1)^i \binom{a-b+j}{j} , C = \sum\limits_{ki+i+j = b - k - 2} \binom{a-b-1}{i} (-1)^i \binom{a-b+j}{j}\)
那么\(cnt(a,b) = A - (k + 2)B + (k+1)C\)。\(ABC\)的计算式子都可以通过枚举\(i\)做到\(\frac{b}{k+1}\)的复杂度,所以计算\(cnt(a,b)\)的总复杂度为\(\frac{\sigma(n)}{k + 1}\),其中\(\sigma(n)\)为\(n\)的约数和,近似\(n\ log\ logn\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
//This code is written by Itst
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 2e6 + 7 , MOD = 998244353;
int prm[MAXN] , jc[MAXN] , inv[MAXN] , mu[MAXN] , ans[MAXN];
int cnt , N , M , K;
bool nprm[MAXN];
inline int poww(int a , int b){
int times = 1;
while(b){
if(b & 1) times = times * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return times;
}
void init(){
mu[1] = 1;
for(int i = 2 ; i <= 1e6 ; ++i){
if(!nprm[i]){
prm[++cnt] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1 ; j <= cnt && prm[j] * i <= 1e6 ; ++j){
nprm[prm[j] * i] = 0;
if(i % prm[j] == 0) break;
mu[i * prm[j]] = -1 * mu[i];
}
}
jc[0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= 2e6 ; ++i)
jc[i] = jc[i - 1] * i % MOD;
inv[2000000] = poww(jc[2000000] , MOD - 2);
for(int i = 1999999 ; i >= 0 ; --i)
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}
int C(int b , int a){return b < a ? 0 : 1ll * jc[b] * inv[a] % MOD * inv[b - a] % MOD;}
int calc(int A , int B){
int sum1 = 0 , sum2 = 0 , sum3 = 0;
for(int i = 0 ; (K + 1) * i <= B ; ++i){
int j = B - (K + 1) * i;
sum1 = (sum1 + (i & 1 ? -1 : 1) * C(A - B - 1 , i) * C(A - B + j , j) % MOD + MOD) % MOD;
}
for(int i = 0 ; (K + 1) * i <= B - K - 1 ; ++i){
int j = B - K - 1 - (K + 1) * i;
sum2 = (sum2 + (i & 1 ? -1 : 1) * C(A - B - 1 , i) * C(A - B + j , j) % MOD + MOD) % MOD;
}
for(int i = 0 ; (K + 1) * i <= B - K - 2 ; ++i){
int j = B - K - 2 - (K + 1) * i;
sum3 = (sum3 + (i & 1 ? -1 : 1) * C(A - B - 1 , i) * C(A - B + j , j) % MOD + MOD) % MOD;
}
return (sum1 - (K + 2) * sum2 % MOD + (K + 1) * sum3 + MOD) % MOD;
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("gift.in","r",stdin);
freopen("gift.out","w",stdout);
#endif
init();
ios::sync_with_stdio(0);
cin >> N >> M >> K;
if(M == 0){puts("1"); return 0;}
for(int i = 1 ; i <= M ; ++i)
ans[N / i] = M % i == 0 && N % i == 0 ? calc(N / i , M / i) : 0;
for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
if(N % i == 0 && M % (N / i) == 0)
for(int j = 2 ; j * i <= N ; ++j)
ans[i * j] = (ans[i * j] + ans[i] * mu[j] + MOD) % MOD;
int sum = 0;
for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
if(N % i == 0 && M % (N / i) == 0)
sum = (sum + poww(i , MOD - 2) * ans[i]) % MOD;
cout << sum << '\n';
return 0;
}
Luogu4916 魔力环 莫比乌斯反演、组合、生成函数的更多相关文章
- 【51nod】1222 最小公倍数计数 莫比乌斯反演+组合计数
[题意]给定a和b,求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数.a,b<=10^11. [算法]莫比乌斯反演+组合计数 [题解]★具体 ...
- LOJ6519. 魔力环(莫比乌斯反演+生成函数)
题目链接 https://loj.ac/problem/6519 题解 这里给出的解法基于莫比乌斯反演.可以用群论计数的相关方法代替莫比乌斯反演,但两种方法的核心部分是一样的. 环计数的常见套路就是将 ...
- [jzoj 6084] [GDOI2019模拟2019.3.25] 礼物 [luogu 4916] 魔力环 解题报告(莫比乌斯反演+生成函数)
题目链接: https://jzoj.net/senior/#main/show/6084 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4916 题目: 题解: 注: ...
- bzoj 2440 简单莫比乌斯反演
题目大意: 找第k个非平方数,平方数定义为一个数存在一个因子可以用某个数的平方来表示 这里首先需要考虑到二分才可以接下来做 二分去查找[1 , x]区间内非平方数的个数,后面就是简单的莫比乌斯反演了 ...
- hdu 1695 GCD 莫比乌斯反演入门
GCD 题意:输入5个数a,b,c,d,k;(a = c = 1, 0 < b,d,k <= 100000);问有多少对a <= p <= b, c <= q <= ...
- 洛谷P3307 [SDOI2013]项链 [polya定理,莫比乌斯反演]
传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j ...
- Coprime (单色三角形+莫比乌斯反演(数论容斥))
这道题,先说一下单色三角形吧,推荐一篇noip的论文<国家集训队2003论文集许智磊> 链接:https://wenku.baidu.com/view/e87725c52cc58bd631 ...
- HDU 5321 Beautiful Set (莫比乌斯反演 + 逆元 + 组合数学)
题意:给定一个 n 个数的集合,然后让你求两个值, 1.是将这个集合的数进行全排列后的每个区间的gcd之和. 2.是求这个集合的所有的子集的gcd乘以子集大小的和. 析:对于先求出len,len[i] ...
- BZOJ 3309 莫比乌斯反演
题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 题意:定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数,求 $Ans=\sum _{i=1} ...
随机推荐
- 微信小程序开发之初探
本文是以一个简单的小例子,来简要讲解微信小程序开发步骤,希望促进学习分享. 概念 微信小程序,简称小程序,缩写xcx,英文mini program.是一种不需要下载安装即可使用的应用,它实现了应用“触 ...
- JHipster技术栈理解 - UAA原理分析
本文简要分析了UAA的认证机制和部分源码功能. UAA全称User Account and Authentication. 相关源码都是通过Jhipster生成,包括UAA,Gateway,Ident ...
- c# 建立到数据源的连接 以及获取项目配置文件的属性
两种连接数据库的写法: <connectionStrings> <add name="HRModelsContainer" connectionString=&q ...
- SQL Server基础之登陆触发器
虽然同表级(DML)触发器和库级(DDL)触发器共顶着一个帽子,但登陆触发器与二者有本质区别.无论表级还是库级,都是用来进行数据管理的,而登陆触发器是纯粹的安全工具. 登陆触发器只响应LOGON事件, ...
- 自动化测试基础篇--Selenium中JS处理浏览器弹窗
摘自https://www.cnblogs.com/sanzangTst/p/7692454.html 浏览器弹窗: 现在大多数网站都会使用自定义弹窗,使用Selenium自带的方法暂时处理不了,这时 ...
- visual studio 启动无法打开IIS express
删除 解决方案下的vs文件夹之后重新生成
- linux shell 指令 诸如-d, -f, -e之类的判断表达式简介
一.文件比较运算符 1. e filename 如果 filename存在,则为真 如: [ -e /var/log/syslog ] 2. -d filename 如果 filename为目录,则为 ...
- 同步下的资源互斥:停运保护(Run-Down Protection)机制
背景 近期在学习ProcessHacker的源码,Process Hacker是一个免费的.功能强大的"任务管理器",可用于监听系统资源的使用情况,调试软件以及检测恶意程序.使用中 ...
- Spring的jdbc模板1
Spring是EE开发的一站式框架,有EE开发的每一层解决方案.Spring对持久层也提供了解决方案:ORM模块和jdbc模块,ORM模块在整合其他框架的时候使用 Spring提供了很多的模板用于简化 ...
- zuul重试配置
#retry#该参数用来开启重试机制spring.cloud.loadbalancer.retry.enabled=true#断路器的超时时间,断路器的超时时间需要大于ribbon的超时时间,不然不会 ...