快速排序原理、复杂度分析及C语言实现

本文作者华科小涛：@http://www.cnblogs.com/hust-ghtao/，参考《算法导论》，代码借用《剑指offer》

快速排序是一种最坏情况时间复杂度为的排序算法。虽然最坏情况的时间复杂度很差，在在实际应用中是最好的选择，平均性能很好：期望时间复杂度，而且隐含的常数因子非常小。另外，它还能够进行原排序，在虚拟环境中也能很好工作。基于随机抽样的快速排序算法，在输入元素互异的情况下，期望运行时间为。

1.基本思想

快速排序利用了分治策略。分治策略可以分为3个步骤：

分解：将问题划分为一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小。
解决：递归的求解出子问题。如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解。
合并：将子问题的解组合成原问题的解。

对一个典型的子数组A[p..r]进行快速排序的分治过程如下：

分解：数组A[p..r]被划分为两个（可能为空）子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[p..q-1]中的每一个元素都小于等于A[q]，而A[q+1..r]中的每个元素都大于A[q]。其中计算下标q也是划分过程的一部分。
解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]进行排序。
合并：因为子数组都是原址排序的，所以不需要合并操作。

2.详细过程

快速排序的伪代码如下：

，为了排序数组A的全部元素，初始调用QUICKSORT(A, 1, A.length)。

其中最关键的部分就是数组的划分PARTITION，它实现了对子数组A[p..r]的原址重排。伪代码如下：

。

这里的PARTITION程序选择x=A[r]作为主元，并围绕着它来划分数组。

随着程序的增加，数组被划分成4个区域，如下图所示：

其中：

A[p..i]上的所有值都小于等于x；
A[i+1..j-1]区间的所有值都大于x；
A[j..r-1]是还未扫描的元素，可能属于任何一种情况;
A[r]=x。

指针 i 一直指向小值数组的最后一个元素，j指向大值数组末尾的下一个元素。

PARTITION的一次迭代过程中会出现两种情况：

（a）如果A[j]>x，需要做的只是将j值加1：

（b）A[j]<=x，则将i值加1，并交换A[i]和A[j]，在将j值加1，使循环不变量保持不变。

。

在PARTITION的最后，将主元与最左的大于x的元素进行交换，就可以将主元移动到它在数组中的正确位置，并返回主元的新下标。

3.性能分析

快速排序的运行时间依赖于划分是否平衡，而平衡与否又依赖于用于划分的元素。

3.1 最坏情况划分

当划分产生的两个子问题分别包含了n-1个元素和0个元素，这是极不平衡的划分。假设算法的每一次递归都出现了这种不平衡的划分，算法运行时间的递归式可以表示为：

可以解得：。

所以，如果在算法的每一层递归上，划分都是最大程度不平衡的，那么算法的时间复杂度为：。

3.2 平均情况

在最平衡的划分中，PARTITION得到的两个子问题的规模都不大于n/2。算法运行时间的递归式为：

可以解得：

。

另外，只要是划分是常数比例的，甚至好的和差（极不平衡）的划分交替出现时，快速排序算法和全是好的划分时一样，仍然是。

4.随机化版本

在算法中引入随机性，使得算法对所有的输入都能获得较好的期望性能。

从A[p..r]中随机选择一个元素作为主元。为了达到这一目的，首先将A[r]与从A[p..r]随机选择的元素交换。通过对序列p..r随机抽样保证主元素

x=A[r]是等概率从r-p+1个元素中选取的。

下面是RANDOMIZED-PARTITION和RANDOMIZED-QUICKSORT的伪代码：

在使用RANDOMIZED-PARTITION，输入元素互异的情况下，快速排序算法的期望运行时间为。

6.代码实现

RANDOMIZED-PARTITION：

   1: int Partition(int data[], int length, int start, int end)

   2: {

   3:     if (data == NULL||length<=0||start<0||end>=length)

   4:     {

   5:         throw new std::exception("Invalid Parameters");

   6:     }

   7:     int index = RandomInRange(start, end);

   8:     Swap(&data[index], &data[end]);

9:

  10:     int small = start - 1;

  11:     for (index = start; index < end;++index)

  12:     {

  13:         if (data[index] < data[end])

  14:         {

  15:             ++small;

  16:             if (small!=index)

  17:             {

  18:                 Swap(&data[index], &data[small]);

  19:             }

  20:         }

  21:     }

  22:     ++small;

  23:     Swap(&data[small], &data[end]);

24:

  25:     return small;

  26: }

QUICKSORT：

   1: void QuickSort(int data[], int length, int start, int end)

   2: {

   3:     if (start == end)

   4:     {

   5:         return;

   6:     }

   7:     int index = Partition(data, length, start, end);

   8:     if (index >start)

   9:     {

  10:         QuickSort(data, length, start, index-1);

  11:     }

  12:     if (index<end)

  13:     {

  14:         QuickSort(data, length, index + 1, end);

  15:     }

  16: }