动态规划---最长上升子序列问题（O(nlogn),O(n^2)）

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。

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先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法:

设a[t]表示序列中的第t个数，dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设dp[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。

一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的： 
 在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。

代码实现如下：

#include<iostream>
using namespace std;
#define max(a,b) a>b?a:b
int main()
{
    int n, i, j, dp[], x[], max_len;
    while (cin >> n)
    {
        for (i = ; i < n; i++)
            cin >> x[i];
        dp[] = ;//表示以x[0]为子序列最右边的长度位1
        for (i = ; i < n; i++)
        {
            dp[i] = ;//初始化每种情况最小值为1
            for (j = ; j < i; j++)
            {
                if (x[i]>x[j] && dp[j] + >dp[i])//从0-i进行扫描,查找边界小于当前最优解长度相等的解优化最优解
                    dp[i] = dp[j] + ;//如果允许子序列相邻元素相同  x[i]>=x[j]&&dp[j]+1>dp[i];
            }
        }
        for (i = max_len = ; i < n; i++)
            max_len = max(max_len, dp[i]);//等到最大子序列长度
        cout << max_len << endl;
    }
    return ;
}

最长上升子序列O(nlogn)解法

在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。

设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：

dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].

考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].

按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设g[k]记录这个值，g[k]=min{a[t],dp[t]=k}。

这时注意到g的两个特点（重点）：

1. g[k]在计算过程中单调不升；

2. g数组是有序的，g[1]<g[2]<..g[n]。

利用这两个性质，可以很方便的求解：

(1).设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：

(2).若x>g[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）

否则，在g中二分查找，找到第一个比x小的数g[k]，并g[k+1]=x，在这里x<=g[k+1]一定成立（性质1,2）。

代码实现如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = ;
int binary_search(int key, int *g, int low, int high)
{
    while (low < high)
    {
        int mid = (low + high) >> ;
        if (key >= g[mid])
            low = mid + ;
        else
            high = mid;
    }
    return low;
}
int main()
{
    int i, j, a[maxn], g[maxn], n, len;
    while (cin >> n)
    {
        memset(g, , sizeof(g));
        for (i = ; i < n; i++)
            cin >> a[i];
        g[] = a[], len = ;//初始化子序列长度为1，最小右边界
        for (i = ; i < n; i++)
        {
            if (g[len] < a[i])//(如果允许子序列相邻元素相同 g[len]<=a[i],默认为不等）
                j = ++len; //a[i]>g[len],直接加入到g的末尾,且len++
            else
                j = binary_search(a[i], g, , len + );
            g[j] = a[i];//二分查找,找到第一个比a[i]小的数g[k],并g[k+1]=a[i]
        }
        cout << len << endl;
    }
    return ;
}

例题分析：（swust oj 126 低价购买）

低价购买

Time limit(ms): 1000       Memory limit(kb): 65535

 

“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(216范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。
这里是某支股票的价格清单： 
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 
最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 
日期 2 5 6 10 
价格 69 68 64 62

Description

第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 
第2行: N个数，是每天的股票价格。

Input

输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231)当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。

Output

1 2 3

12 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

Sample Input

1

4 2

分析：在扫描[1,i-1]寻找最优解时，如果当前解与已知最优解相同，就进行累加；如果更大，就覆盖之前的结果。对于重复方案的判断，可以比较已
知最优解的末尾和和当前解的末尾，两个价格如果相同，那么就不能进行累加，而应该选取更靠后的一个。显然靠后的价格会有不少于靠前的
价格的方案数，例如序列3,2,3,2,1：
num[2]=1,num[4]=2。
为了方便起见，可以从后往前扫描，即i-1 to 1，并用t记录最近一个最优解的price，只有小于t的price[j]才进行累加和更新。

AC 代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int price[], dp[], num[];
int main()
{
    int n, i, j, t;
    cin >> n;
    for (i = ; i < n; i++)
        cin >> price[i];
    for (i = ; i <= n; i++)
    {
        num[i] = ;
        t = 0x3f3f3f3f; //判断是否为相同方案的变量
        for (j = i - ; j >= ; j--)
        if (price[j]>price[i])
        {
            if (dp[j] >= dp[i])
            {
                t = price[j];
                dp[i] = dp[j] + ;
                num[i] = num[j];
            }
            else if (dp[j] +  == dp[i] && price[j] < t)
            {
                t = price[j];
                num[i] += num[j];
            }
        }
    }
    cout << dp[n] << ' ' << num[n] << endl;;
    return ;
}

不得不说一句dp是个神奇而强大的思想~~~~