Luogu3516 POI2011 Shift 构造

传送门

题意：给出一个长为$N$的排列，有两种操作：$A$：将最后一个数字放到第一个；$B$：将第三个数字放到第一个。一次性使用某种操作$k$次写作$kA$或$kB$，其中在$kA$中$k < N$，在$kB$中$k < 3$。请给出一种方案使得序列变为$1,2,3...N$。$N \leq 2000$

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一道比较难的构造题

我们考虑增量构造：假如我们已经将$1-i$排好了，如何将$i+1$排到它们后面。我们可以进行如下操作：

$1.$通过若干$A$操作将$i+1$放到序列开头的位置

$2.$重复$2A,1B$操作将$i$与$i+1$之间不必要的数字两两踢到$i+1$后面

$3.$如果序列最后还有一个多余的数字，使用$1A,2B$操作将它踢到$i+1$后面

这样$i$与$i+1$就能相连了。

但是当我们需要将$n-1$接上时，会有一些问题：

我们考虑这样的一个序列：$$n-1,1,2,3...n-2,n$$

如果我们使用$1A,2B$操作，$n$就会夹在$1$和$2$中间，打乱了我们之前排好的顺序。所以当我们需要排$n-1$和$n$时，这种方法是不可行的。不妨考虑另外一种构造方法。

我们将$n$移到第一个，也就是$$n,n-1,1,2,3...n-2$$

然后我们使用一次$2A,1B$操作，然后序列就变成了……

$$n,n-3,n-2,n-1,1,2,3...n-4$$

发现$n$的位置没有变，但是后面$n-1$个数在循环。那么我们不断重复该操作，直到序列变成$$n,1,2,3...n-2,n-1$$就行了。但实际上在当前情况下当$n$为奇数的时候是不可行的，因为在移动若干次之后，序列会变成$$n,2,3,4...n-1,1$$，再一次重复该操作又会把$n-1$踢到前面去了。

可以发现所有操作都是$O(n)$级别的，总操作次数是$O(n^2)$级别的，与题设刚好一致

稍微注意一下输出

关于序列移动的模拟操作建议使用链表。如果比较懒，可以使用STL中的deque，开O2的情况下效率还是比较优秀的（不开O2是最慢的）

下面的代码：O2 497ms，无O2 2146ms

 #include<bits/stdc++.h>
 #define MAXN 5000010
 using namespace std;

 inline int read(){
     ;
     char c = getchar();
     while(!isdigit(c))
         c = getchar();
     while(isdigit(c)){
         a = (a << ) + (a << ) + (c ^ ');
         c = getchar();
     }
     return a;
 }

 char done[MAXN] , allDone[MAXN];
 int step[MAXN] , allStep[MAXN] , pot[MAXN] , N , cnt;
 deque < int > now;

 inline void moveA(int s){
     if(done[cnt] != 'a')
         done[++cnt] = 'a';
     step[cnt] += s;
      ; i <= s ; i++){
         now.push_front(now.back());
         now.pop_back();
     }
 }

 inline void moveB(int s){
     if(done[cnt] != 'b')
         done[++cnt] = 'b';
     step[cnt] += s;
      ; i <= s ; i++){
         ];
         now[] = now[];
         now[] = now[];
         now[] = p;
     }
 }

 inline void output(){
     ;
      ; i <= cnt ; i++)
         if(done[i] != allDone[i]){
             )){
                 allDone[++calc] = done[i];
                 allStep[calc] = step[i];
             }
         }
         else
             ))
                 allStep[i] = (allStep[i] + step[i]) % (done[i] == );
             else
                 allDone[calc--] = ;
     cout << calc << endl;
      ; i <= calc ; i++)
         cout << allStep[i] << allDone[i] << ' ';
 }

 int main(){
     N = read();
      ; i <= N ; i++)
         now.push_back(read());
     ){
         putchar(');
         ;
     }
     else
         ){
             cout << (now[] ==  ? " : "1\n1a");
             ;
         }
      ; i < N -  ; i++){
          ; j < N ; j++)
             if(now[j] == i){
                 if(j)
                     moveA(N - j);
                 break;
             }
         ] != i - )
             ] != i - ){
                 moveA();
                 moveB();
             }
             else{
                 moveA();
                 moveB();
             }
     }
      ; i < N ; i++)
         if(now[i] == N){
             if(i)
                 moveA(N - i);
             break;
         }
     ] == N - ){
         ){
             puts("NIE");
             ;
         }
         ] != N - ){
             moveA();
             moveB();
         }
     }
     moveA(N - );
     output();
     ;
 }