P4512 【模板】多项式除法

思路

多项式除法板子

多项式除法

给出\(A(x)\)和\(B(x)\)，求一个\(n-m\)次的多项式\(D(x)\)，一个\(m-1\)次多项式\(R(x)\)，满足

\[A(x)=B(x)D(x)+R(x)
\]

定义\(D^R(x)\)为多项式\(D(x)\)系数反转的结果，可证\(D^R(x)=x^nD(\frac{1}{x})\)

所以

\[\begin{align}&A(x)=B(x)D(x)+R(x)\\&A(\frac{1}{x})=B(\frac{1}{x})D(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})\\&x^nA(\frac{1}{x})=x^nB(\frac{1}{x})D(\frac{1}{x})+x^nR(\frac{1}{x})\\&A^R(x)=B^R(x)D^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x)\end{align}
\]

放到模\(x^{n-m+1}\)意义下

就消去了\(R(x)\)的影响，然后上求逆就行了

注意反转D系数时候只反转0~n-m项系数

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 300000;
const int G = 3;
const int invG = 332748118;
const int MOD = 998244353;
int n,m;
struct Poly{
    int t;//次数界
    int data[MAXN];
    Poly(){}
    Poly(int x,int val[]){
        for(int i=0;i<=x;i++)
            data[i]=val[i];
    }
};
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(1LL*ans*a)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void rever(Poly &a){
    for(int i=0,j=a.t;i<j;i++,j--){
        swap(a.data[i],a.data[j]);
    }
}
void save(Poly &a,int top){
    for(int i=top+1;i<=a.t;i++)
        a.data[i]=0;
    a.t=top;
}
void output(Poly a){
    putchar('\n');
    printf("a.times=%lld\n",a.t);
    putchar('\n');
    for(int i=0;i<=a.t;i++)
        printf("%lld ",a.data[i]);
    putchar('\n');
    putchar('\n');
}
void NTT(Poly &a,int opt,int n){//1 DFT 0 IDFT
    int lim=0;
    while((1<<(lim))<n)
        lim++;
    n=(1<<lim);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=0;
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if((i>>j)&1)
                t|=(1<<(lim-j-1));
        if(i<t)
            swap(a.data[i],a.data[t]);
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        int len=i/2;
        int tmp=pow((opt)?G:invG,(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            int arr=1;
            for(int k=j;k<j+len;k++){
                int t=(1LL*a.data[k+len]*arr)%MOD;
                a.data[k+len]=(a.data[k]-t+MOD)%MOD;
                a.data[k]=(a.data[k]+t)%MOD;
                arr=(1LL*arr*tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    if(!opt){
        int invN = pow(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++){
            a.data[i]=(a.data[i]*invN)%MOD;
        }
    }
}
void mul(Poly &a,Poly b){//a=a*b
    int num=(a.t+b.t),lim=0;
    while((1<<(lim))<=((num+2)))
        lim++;
    lim=(1<<lim);
    NTT(a,1,lim);
    NTT(b,1,lim);
    for(int i=0;i<lim;i++)
        a.data[i]=(1LL*a.data[i]*b.data[i])%MOD;
    NTT(a,0,lim);
    a.t=num;
    for(int i=num+1;i<lim;i++)
        a.data[i]=0;
}
void Inv(Poly a,Poly &inv,int dep,int &len){//
    if(dep==1){
        inv.data[0]=pow(a.data[0],MOD-2);
        inv.t=dep-1;
        return;
    }
    Inv(a,inv,(dep+1)>>1,len);
    static Poly tmp;
    while((dep<<1)>len)
        len<<=1;
    for(int i=0;i<dep;i++)
        tmp.data[i]=a.data[i];
    for(int i=dep;i<len;i++)
        tmp.data[i]=0;
    NTT(tmp,1,len);
    NTT(inv,1,len);
    for(int i=0;i<len;i++)
        inv.data[i]=1LL*inv.data[i]*((2-1LL*inv.data[i]*tmp.data[i])%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(inv,0,len);
    for(int i=dep;i<len;i++)
        inv.data[i]=0;
    inv.t=dep-1;
}
void div(Poly a,Poly b,Poly &D,Poly &R){
    static Poly tmp1,tmp2;
    int Up=a.t-b.t+1,midlen=1;
    tmp1=b;
    rever(tmp1);
    Inv(tmp1,tmp2,Up,midlen);
    tmp1=a;
    rever(tmp1);
    mul(tmp2,tmp1);
    save(tmp2,n-m);
    rever(tmp2);
    D=tmp2;
    mul(tmp2,b);
    for(int i=0;i<b.t;i++)
        R.data[i]=(a.data[i]-tmp2.data[i]+MOD)%MOD;
    R.t=b.t-1;
}
Poly a,b,D,R;
signed main(){
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lld",&a.data[i]);
    a.t=n;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        scanf("%lld",&b.data[i]);
    b.t=m;
    div(a,b,D,R);
    for(int i=0;i<=D.t;i++)
        printf("%lld ",D.data[i]);
    putchar('\n');
    for(int i=0;i<=R.t;i++)
        printf("%lld ",R.data[i]);
    putchar('\n');
    return 0;
}