$O(n+log(mod))$求乘法逆元的方法

题目

LOJ #152. 乘法逆元 2

题解

一个奇技淫巧qwq。可以离线求乘法逆元，效率\(O(n+log(mod))\)。

考虑处理出\(s_n\)表示\(\prod_{i=1}^na_i\)。以及\(sinv_n\)表示\(\prod_{i=1}^na_i\)的逆元。

那么对于每次询问，\(sinv_i*s_{i-1}\)就是答案。

\(s_i\)显然可以在输入的时候顺便处理出来，\(sinv_n=(s_n)^{mod-2}\)（如果\(mod\)不是质数就exgcd一下）。

对于\(sinv_i(i\not = n)\)，显然有\(sinv_i=sinv_{i+1}*a_{i+1}\)。则可以\(O(n+log(mod))\)求出来\(sinv_i\)。

总复杂度是\(O(n+log(mod))\)的

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define il inline

namespace io {

#define in(a) a = read()
#define out(a) write(a)
#define outn(a) out(a), putchar('\n')

#define I_int ll
inline I_int read() {
    I_int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
char F[200];
inline void write(I_int x) {
    if (x == 0) return (void) (putchar('0'));
    I_int tmp = x > 0 ? x : -x;
    if (x < 0) putchar('-');
    int cnt = 0;
    while (tmp > 0) {
        F[cnt++] = tmp % 10 + '0';
        tmp /= 10;
    }
    while (cnt > 0) putchar(F[--cnt]);
}
#undef I_int

}
using namespace io;

using namespace std;

#define N 5000010

const ll mod = 1e9 + 7;
int n = read();
ll sinv[N], a[N], s[N];

ll power(ll a, ll b) { ll ans = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod; b >>= 1;
	} return ans;
}

int main() { s[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		a[i] = read();
		s[i] = s[i - 1] * a[i] % mod;
	} ll ans = 0;
	sinv[n] = power(s[n], mod - 2); sinv[0] = 1;
	for(int i = n; i; --i) sinv[i - 1] = sinv[i] * a[i] % mod;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		ll inv = sinv[i] * s[i - 1] % mod;
		ans = (ans * 998244353 + inv) % mod;
	}
	outn(ans);
}