MT【207】|ax^2+bx+c|中判别式$\Delta$的含义

已知$a,b\in R^+,a+b=2$且对任意的$x\in R$,均有
$|2x^2+ax-b|\ge|x^2+cx+d|$则$\dfrac{d-4c}{cd}$的最小值______

提示：注意到$\Delta=a^2+8b>0$有两根与$x^2+cx+d=0$的两根必定相同
$\therefore 1:2=c:a=d:-b$,从而可得$c-d=1$故

$\dfrac{d-4c}{cd}=\dfrac{1}{c}-\dfrac{4}{d}=(\dfrac{1}{c}-\dfrac{4}{d})(c-d)\ge(1+2)^2=9$
当$c=\dfrac{1}{3},d=\dfrac{-2}{3}$时取到最小值.

注:1最后一个不等式用到了反柯西。

2.事实上一般的$|ax^2+bx+c|\ge|dx^2+ex+f|$恒成立时,$|\Delta_1|=|b^2-4ac|\ge|\Delta_2|=|e^2-4df|$