[NOI2021] 密码箱 （平衡树，连分数，Stern-Brocot 树，矩阵）

题面

记忆犹新

题解

f

f

f 函数值给得非常明显，一看就给人一种熟悉感——这不是连分数吗？

众所周知，连分数有个递推公式，即

p

i

=

a

i

p

i

−

1

+

p

i

−

2

q

i

=

a

i

q

i

−

1

+

q

i

−

2

p_i=a_ip_{i-1}+p_{i-2}\\ q_i=a_iq_{i-1}+q_{i-2}

pi​=ai​pi−1​+pi−2​qi​=ai​qi−1​+qi−2​

而且不用管约分，因为根据这个式子算出来的一定是最简分数。

可以发现两者的转移式子几乎一模一样，只是初值不同。

于是，一种方式是用矩阵维护转移，分子分母的转移式子相同，只用存一份。

这样就可以解决只有 APPEND 操作的数据了。

但是我们发现，如果把转移跟

a

a

a 序列绑定在一起，很不好搞。我们其实可以把转移和操作序列绑定：

我们把向量矩阵定义为

(

p

i

,

p

i

−

1

,

p

i

−

2

)

(p_i,p_{i-1},p_{i-2})

(pi​,pi−1​,pi−2​) 和

(

q

i

,

q

i

−

1

,

q

i

−

2

)

(q_i,q_{i-1},q_{i-2})

(qi​,qi−1​,qi−2​) ，我们不妨从

p

p

p 入手，翻译操作类型代表的矩阵，

• W 类型：最后一个+1，也就是

  p

  i

  +
   ⁣ ⁣

  =

  p

  i

  −

  1

  p_i+\!\!=p_{i-1}

  pi​+=pi−1​ ，这个可以转化为矩阵

  (

  1

  0

  0

  1

  1

  0

  0

  0

  1

  )

  \left(\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right)

  ⎝⎛​110​010​001​⎠⎞​ 。

E 类型，分两种小情况：

• WE：前面是个 W ，保证了

  a

  a

  a 序列最后一个元素大于 1，那么把它减 1，再添两个 1，此时的 E 的转移矩阵为

  (

  2

  1

  1

  −

  1

  0

  −

  1

  0

  0

  0

  )

  \left(\begin{matrix}2&1&1\\-1&0&-1\\0&0&0\end{matrix}\right)

  ⎝⎛​2−10​100​1−10​⎠⎞​ 。

• _E：除了前面是 W 之外的情况，容易发现

  a

  a

  a 序列最后一个元素必定为 1，那么把倒数第二个数+1，此时比较麻烦，要牵扯到

  p

  i

  −

  2

  p_{i-2}

  pi−2​ ，这也是我定义

  3

  ×

  3

  3\times3

  3×3 矩阵的原因。从递推公式上算，转移矩阵应该是

  (

  1

  0

  0

  0

  1

  0

  1

  1

  1

  )

  \left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{matrix}\right)

  ⎝⎛​101​011​001​⎠⎞​ 。

为了方便，我们算出

W

E

:

(

2

1

1

−

1

0

−

1

0

0

0

)

=

X

:

(

1

0

1

0

1

−

1

0

0

0

)

×

_

E

:

(

1

0

0

0

1

0

1

1

1

)

{\tt WE}:\left(\begin{matrix}2&1&1\\-1&0&-1\\0&0&0\end{matrix}\right)={\tt X}:\left(\begin{matrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{matrix}\right)\times{\tt\_E}:\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{matrix}\right)

WE:⎝⎛​2−10​100​1−10​⎠⎞​=X:⎝⎛​100​010​1−10​⎠⎞​×_E:⎝⎛​101​011​001​⎠⎞​ ，用这个

X

{\tt X}

X 矩阵进行 WE 的计算，那么相当于所有的 E 都先看成是 _E 类型，然后若出现了 WE ，就在 W 和 E 中间乘上矩阵

X

\tt X

X 。

现在，该有的推理都已经结束了，开始我们的平衡树之旅了。

平衡树中要记录两个 char 表示左右端点的字符，四个矩阵，分别记录无颜色翻转无旋转，无颜色翻转有旋转，有颜色翻转无旋转，有颜色翻转有旋转这四种情况下的区间转移矩阵，还有懒标记，以及平衡树必有的 son，siz，和随机值。

CODE

为了使

3

×

3

3\times3

3×3 的矩阵过掉，卡常数颇费心思。

#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
void putint(int x) {
	if(!x) return ;
	putint(x/10);putchar(x%10+'0');
	return ;
}
const int MOD = 998244353;
int n,m,i,j,s,o,k;
int Q,X = 123127;
int my_rand() {
	return X = (X *2333ll + 2344243ll) % MOD;
}
char ss[MAXN<<1];
struct mat{
	int n,m;
	int s[3][3];
	mat(){n=m=0;}
	mat(int x) {n=m=3;memset(s,0,sizeof(s));for(int i = 0;i < 3;i ++)s[i][i]=x;}
	void set(int N,int M) {n=N;m=M;memset(s,0,sizeof(s));}
}Ap,Aq,W,WE,_E,nm1;
void MD(int &x) {if(x>=MOD)x-=MOD;}
// p_-2 = 0, p_-1 = 1; q_-2 = 1, q_-1 = 0;
mat operator * (mat a,mat b) {
	mat c;c.n = a.n;c.m = b.m;
	c.s[0][0] = (a.s[0][0]*1ll*b.s[0][0]+a.s[0][1]*1ll*b.s[1][0]+a.s[0][2]*1ll*b.s[2][0]) % MOD;
	c.s[0][1] = (a.s[0][0]*1ll*b.s[0][1]+a.s[0][1]*1ll*b.s[1][1]+a.s[0][2]*1ll*b.s[2][1]) % MOD;
	c.s[0][2] = (a.s[0][0]*1ll*b.s[0][2]+a.s[0][1]*1ll*b.s[1][2]+a.s[0][2]*1ll*b.s[2][2]) % MOD;

	c.s[1][0] = (a.s[1][0]*1ll*b.s[0][0]+a.s[1][1]*1ll*b.s[1][0]+a.s[1][2]*1ll*b.s[2][0]) % MOD;
	c.s[1][1] = (a.s[1][0]*1ll*b.s[0][1]+a.s[1][1]*1ll*b.s[1][1]+a.s[1][2]*1ll*b.s[2][1]) % MOD;
	c.s[1][2] = (a.s[1][0]*1ll*b.s[0][2]+a.s[1][1]*1ll*b.s[1][2]+a.s[1][2]*1ll*b.s[2][2]) % MOD;

	c.s[2][0] = (a.s[2][0]*1ll*b.s[0][0]+a.s[2][1]*1ll*b.s[1][0]+a.s[2][2]*1ll*b.s[2][0]) % MOD;
	c.s[2][1] = (a.s[2][0]*1ll*b.s[0][1]+a.s[2][1]*1ll*b.s[1][1]+a.s[2][2]*1ll*b.s[2][1]) % MOD;
	c.s[2][2] = (a.s[2][0]*1ll*b.s[0][2]+a.s[2][1]*1ll*b.s[1][2]+a.s[2][2]*1ll*b.s[2][2]) % MOD;
	return c;
}
struct it{
	char L,R;char f1,f2;
	mat m[2][2];
	it() {L=R=0;f1=f2=0;}
	it(int x){f1=f2=0;m[0][0]=m[0][1]=m[1][0]=m[1][1]=mat(1);f1=f2=0;}
	void flip() {
		if(L=='E') L='W'; else L='E';
		if(R=='E') R='W'; else R='E';
		f1 ^= 1;
	}
	void reverse() {
		swap(L,R);f2 ^= 1;
	}
}tre[(MAXN*2)<<2]={it(1)},nmb[(MAXN*2)<<2]={it(1)};
it merg(it a,it b) {
	if(!a.L) return b; if(!b.L) return a;
	it c;c.L = a.L;c.R = b.R;
	if(a.R=='W'&&b.L=='E') c.m[0][0] = a.m[a.f1][a.f2]*WE*b.m[b.f1][b.f2],c.m[1][1] = b.m[1^b.f1][1^b.f2]*WE*a.m[1^a.f1][1^a.f2];
	else c.m[0][0] = a.m[a.f1][a.f2]*b.m[b.f1][b.f2],c.m[1][1] = b.m[1^b.f1][1^b.f2]*a.m[1^a.f1][1^a.f2];

	if(a.R=='E'&&b.L=='W') c.m[0][1] = b.m[b.f1][1^b.f2]*WE*a.m[a.f1][1^a.f2],c.m[1][0] = a.m[1^a.f1][a.f2]*WE*b.m[1^b.f1][b.f2];
	else c.m[0][1] = b.m[b.f1][1^b.f2]*a.m[a.f1][1^a.f2],c.m[1][0] = a.m[1^a.f1][a.f2]*b.m[1^b.f1][b.f2];
	return c;
}
bool lz[(MAXN*2)<<2][2];
int sn[(MAXN*2)<<2][2],siz[(MAXN*2)<<2],hp[(MAXN*2)<<2],CNT;
// -----------------------------------------Treap!!!
struct np{
	int s[2];np(){s[0]=s[1]=0;}
};
int update(int x) {
	int ls = sn[x][0],rs = sn[x][1];
	siz[x] = siz[ls] + siz[rs] + 1;
	tre[x] = merg(tre[ls],merg(nmb[x],tre[rs]));
	return x;
}
void pushdown(int a) {
	int ls = sn[a][0],rs = sn[a][1];
	if(lz[a][0]) {
		tre[ls].flip(); tre[rs].flip();
		nmb[ls].flip(); nmb[rs].flip();
		lz[ls][0] ^= 1; lz[rs][0] ^= 1;
		lz[a][0] = 0;
	}
	if(lz[a][1]) {
		tre[ls].reverse(); tre[rs].reverse();
		nmb[ls].reverse(); nmb[rs].reverse();
		swap(sn[ls][0],sn[ls][1]); swap(sn[rs][0],sn[rs][1]);
		lz[ls][1] ^= 1; lz[rs][1] ^= 1;
		lz[a][1] = 0;
	}return ;
}
int maketree(char C) {
	int a = ++ CNT;
	lz[a][0] = lz[a][1] = 0;
	sn[a][0] = sn[a][1] = 0;
	hp[a] = my_rand();
	mat nw,nw2;
	if(C == 'W') nw = W,nw2 = _E;
	else nw = _E,nw2 = W;
	tre[a].L = tre[a].R = C;
	tre[a].m[0][0]=tre[a].m[0][1]=nw;
	tre[a].m[1][0]=tre[a].m[1][1]=nw2;
	nmb[a] = tre[a]; siz[a] = 1;
	return a;
}
np Split(int x,int rk) {
	np as = np();
	if(!x) return as;
	pushdown(x);
	int d = (siz[sn[x][0]]+1 <= rk);
	if(d) rk -= siz[sn[x][0]]+1;
	as = Split(sn[x][d],rk);
	sn[x][d] = as.s[d^1];
	as.s[d^1] = update(x);
	return as;
}
int Merge(int p1,int p2) {
	if(!p1 || !p2) return p1+p2;
	pushdown(p1); pushdown(p2);
	if(hp[p1] < hp[p2]) {
		sn[p1][1] = Merge(sn[p1][1],p2);
		return update(p1);
	}
	sn[p2][0] = Merge(p1,sn[p2][0]);
	return update(p2);
}
int Flip(int x,int l,int r) {
	np p2 = Split(x,r);
	np p1 = Split(p2.s[0],l-1);
	int a = p1.s[1];
	tre[a].flip();nmb[a].flip();
	lz[a][0] ^= 1;
	return Merge(Merge(p1.s[0],p1.s[1]),p2.s[1]);
}
int Reverse(int x,int l,int r) {
	np p2 = Split(x,r);
	np p1 = Split(p2.s[0],l-1);
	int a = p1.s[1];
	tre[a].reverse();nmb[a].reverse();
	lz[a][1] ^= 1; swap(sn[a][0],sn[a][1]);
	return Merge(Merge(p1.s[0],p1.s[1]),p2.s[1]);
}
//---------------------------------------Treap Forever!!!
int root = 0;
int main() {
	nm1 = mat(1);
	Ap.set(1,3); Aq.set(1,3);
	W.set(3,3); WE.set(3,3); _E.set(3,3);
	// p-1= 1, q-1= 0
	// p0 = 0, q0 = 1;
	// p1 = 1, q1 = 1;
	Ap.s[0][0] = 1; Ap.s[0][1] = 0; Ap.s[0][2] = 1;
	Aq.s[0][0] = 1; Aq.s[0][1] = 1; Aq.s[0][2] = 0;

	int tm1[3][3] = {{1,0,0},{1,1,0},{0,0,1}};
	memcpy(W.s,tm1,sizeof(W.s));

	int tm2[3][3] = {{1,0,1},{0,1,MOD-1},{0,0,0}};
	memcpy(WE.s,tm2,sizeof(WE.s));

	int tm3[3][3] = {{1,0,0},{0,1,0},{1,1,1}};
	memcpy(_E.s,tm3,sizeof(_E.s));

	n = read();Q = read();
	scanf("%s",ss + 1);
	for(int j = 1;j <= n;j ++) {
		root = Merge(root,maketree(ss[j]));
	}

	it as = tre[root];
	mat sp = Ap*as.m[as.f1][as.f2],sq = Aq*as.m[as.f1][as.f2];
	putint(sp.s[0][0]);putchar(' ');putint(sq.s[0][0]);ENDL;
	while(Q --) {
		char tps[15],cc;
		scanf("%s",tps);
		if(tps[0] == 'A') {
			cc = getchar();
			while(cc == ' ') cc = getchar();
			n ++;
			root = Merge(root,maketree(cc));
		}
		else if(tps[0] == 'F') {
			s = read();o = read();
			root = Flip(root,s,o);
		}
		else {
			s = read();o = read();
			root = Reverse(root,s,o);
		}
		it as = tre[root];
		mat sp = Ap*as.m[as.f1][as.f2],sq = Aq*as.m[as.f1][as.f2];
		putint(sp.s[0][0]);putchar(' ');putint(sq.s[0][0]);ENDL;
	}
	return 0;
}

过掉以后，发现由于序列特殊性，连分数其实可以用 2×2 的矩阵。

Stern-Brocot 树

有同学在考场上发现了规律，那就是：W 操作相当于在

Stern-Brocot

\texttt{Stern-Brocot}

Stern-Brocot 树上跳左子树，E 操作相当于跳右子树，于是，我们可以只在矩阵中记录两个值（当然分子分母要分开算）：当前点左边的值和右边的值，往左跳相当于把左边的值加到右边，往右跳就把右边的数加到左边。

这二者的矩阵都非常好推，比连分数好推多了。

这个结论是怎么发现的呢？打表找规律