【题目描述】

我们知道斐波那契数列0 1 1 2 3 5 8 13……

数列中的第i位为第i-1位和第i-2位的和(规定第0位为0,第一位为1)。

求斐波那契数列中的第n位mod 10000的值。

【分析】

这是我们熟悉的斐波那契数列,原来呢我们是递推求值的嘛,当然这是最水的想法~~可是!这里的n很大诶,有10^9,for一遍肯定是不可以的咯。

于是,我学会了用矩阵乘法求斐波那契数列(貌似是很经典的)。

作为初学者的我觉得十分神奇!!

好,我们来看:

我们每次存两个数f[i-1]和f[i-2],表示数列中的第i-1个数和第i-2的数,如何用这两个数推出我们下一次要存的两个数f[i]和f[i-1]呢,嗯,题目已经说得很清楚了:

f[i-1]=f[i-1]

f[i]=f[i-1]+f[i-2]

可能你会觉得第一句有一点废话,但是是有不一样的意义的,这体现了递推的过程,就是说我们每次扫两个数,根据前面的两个数推出后面的两个数,这个思想在后面我做的一题——poj3734中有更好的体现。根据这个我们可以建一个2*2的矩阵A

1 1
1 0

然后把我们每次存的两个数放在另一个矩阵B里面:

f[i-1]
f[i-2]

那么把这两个矩阵相乘就可以得到另一个矩阵:

f[i]
f[i-1]

这样就可以得到f[i]了,至于为什么乘了之后会变成这两个数,我们根据矩阵乘法的乘法规律可以很容易推出来。

这样子的话,我们每次用A*B替换B,最后得到的矩阵的第一个数就是f[n]了。

那么,矩阵乘法的优越性究竟体现在哪里呢。其实,矩阵乘法只是体现了我们从之前求的数到现在要求的数的递推过程,就是说矩阵乘法可以完成多个元素的递推。不过这个我们用普通的递推就可以实现的啊~~认真想想我们就能发现,我们在矩阵乘法的过程中把上见面的A矩阵自己相乘了很多遍。就是说,我们可以求A矩阵的幂最后乘上B矩阵,既然要求幂,矩阵乘法满足结合律,那么我们就可以用快速幂啦~~矩阵乘法的优越性就体现在这里:在递推过程变成不断乘以一个矩阵,然后用快速幂快速求得从第一个到第n个的递推式,这样子就可以在短时间内完成递推了。

哇塞,人类的智商啊~~让我们继续膜拜那些智商正无穷的大神吧,orz,orz……

之前写的快速幂都是递归式的,现在终于学会新的快速幂写法,纪念一下:

 while(n)
{
if(n&) b=a*b;
a=a*a;
n>>=;
}

为什么这样打快速幂可以呢,把指数换成二进制想一想,就可以发现了。

接下来贴代码,结构体真心好用,代码好看多了~~嗯...另外做题目的时候要注意细节!!

 #include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define Mod 10000 struct node
{
int v[][];
int m,l;
}; node get_mul(node a,node b)
{
node c;
c.m=a.m;c.l=b.l;
for(int i=;i<=c.m;i++)
for(int j=;j<=c.l;j++)
{
c.v[i][j]=;
for(int k=;k<=a.l;k++)
c.v[i][j]=(c.v[i][j]+a.v[i][k]*b.v[k][j])%Mod;
}
return c;
} int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
int n;
while()
{
scanf("%d",&n);
if(n==) {printf("0\n");continue;}
if(n==-) break;
node a,b,c;
a.m=a.l=,a.v[][]=,a.v[][]=,a.v[][]=,a.v[][]=;
b.m=b.l=,b.v[][]=,b.v[][]=,b.v[][]=,b.v[][]=;
c.m=,c.l=,c.v[][]=,c.v[][]=;
n--;
while(n)
{
if(n&) b=get_mul(a,b);
a=get_mul(a,a);
n>>=;
}
b=get_mul(b,c);
printf("%d\n",b.v[][]);
}
return ;
}

poj3070

打表打得好恶心啊!!

2015-09-19 10:33:36

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