《A First Course in Probability》-chaper1-组合分析-方程整数解的个数

在概率论问题中求解基本事件、某个事件的可能情况数要涉及到组合分析。

而这一部分主要涉及到简单的计数原理和二项式定理、多项式定理。

我们从一个简单的实例入手。

方程的整数解个数：

Tom喜欢钓鱼，一直他在r天中钓了n条鱼，设xi表示Tom第i天钓鱼的数目，这里我们，很显然时间是有序排列的，因此我们得到一个r元向量<x1,x2,x3……,xr>，那么满足上述条件，即x1+x2+x3+……+xr=n的r元组合、有多少个呢？

分析：首先我们刻意的将问题限制一下，假设每天Tom都不是空手而归，那么通过插板的方法，我们容易得到向量组的个数：

基于这个结论，我们去掉原来的限制，并设映射关系：yi = xi + 1，很明显，y1+y2+y3+……+yr=n+r的解向量个数，与x1+x2+x3+……+xr=n的解向量个数相同。那么我们很好的将一个变量(xi)可以为0的问题转化成了一个变量(yi)不可以为0的问题，利用上文给出的规律，我们容易得到向量组的个数：

有读者可能会问，这里为什么建立的映射关系一定是yi = xi + 1呢？如果是yi = xi + 2呢？最终的结果岂不就变了？那是因为，这里我们对yi的限制是正数，建立映射关系yi = xi + 1，那么xi的取值就是非负数，如果yi = xi + 2，那么xi将取得负数，这是和原来的问题性质不同了。

因此在这里我们能够将其归纳成如下的命题：