P1062 数列

题目描述

给定一个正整数k(3≤k≤15),把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列,例如,当k=3时,这个序列是:

1,3,4,9,10,12,13,…

(该序列实际上就是:3^0,3^1,3^0+3^1,3^2,3^0+3^2,3^1+3^2,3^0+3^1+3^2,…)

请你求出这个序列的第N项的值(用10进制数表示)。

例如,对于k=3,N=100,正确答案应该是981。

输入输出格式

输入格式:

输入文件只有1行,为2个正整数,用一个空格隔开:

k N
(k、N的含义与上述的问题描述一致,且3≤k≤15,10≤N≤1000)。

输出格式:

输出文件为计算结果,是一个正整数(在所有的测试数据中,结果均不超过2.1*109)。(整数前不要有空格和其他符号)。

输入输出样例

输入样例#1:

  3 100
输出样例#1:

981

说明

NOIP 2006 普及组 第四题

不难发现,相加有一定的规律。

k^0  ,  k^1,  k^1 + k^0,  k^2, k^2 + k^0, k^2 + k^1, k^2 + k^ 1 + k^0, k^3..

1           10        11         100        101            110              111                     1000

只需证k^1 + k^2 + ... + k^n < k^(n + 1),上述结论即可成立

只需证 (1 - k^n)/(1 - k) < k^n

只需证 k^n - 1 < k^(n + 1) - k^n

只需证2k^n  < k^(n + 1) + 1

只需证k^n < k^(n + 1)/2 + 1/2 ①

由于k >= 3 k^n < k^n * k/2   ①式显然成立

证毕

 #include <bits/stdc++.h>
int k,n;
long long ans;
long long pow(int a,int b)
{
if(b == )return ;
long long r = ,base = a;
while(b)
{
if(b & )r *= base;
base *= base;
b >>= ;
}
return r;
}
int main()
{
scanf("%d %d", &k, &n);
for(int i = ;n;i ++)
{
if(n & == )ans += pow(k, i - );
n >>= ;
}
printf("%lld", ans);
return ;
}

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