dice 概率论 概率DP
题目链接:
http://acm.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?pid=1010&cid=459
找出公式,公式有实际意义,某种情形当重复做n次实验时会出现一次,即出现的概率为1/n,现在要想出现这种情形,平均要做多少次实验,显然平均要做n次。
说一个具体的,比如掷色子,有6个点,6个点随机等概率出现。掷一次色子出现1的概率为1/6,现在想掷出1来,平均要掷色子多少次,即次数的数学期望是多少。
可以证明:
设掷i次色子才出现1的概率为p[i],则有
p[1] = 1/6;
p[2] = (5/6) *(1/6);第一次没有出现
p[3] = (5/6)^2*(1/6)
`````
p[n] = (5/6)^n-1*(1/6);前n-1次没有出现
``````
所以次数的数学期望为sum(k*p[k]),(k>=1,k为自然数,可以取到无穷) ,据观察,有p[i] = p[i-1]*(5/6);
式子1:s = 1*p[1] + 2*p[2] + ``` +n*p[n] +````
式子2:(5/6)*s = 1*p[1] + ````(n-1)*p[n]+````(式子2为式子1的左右两边同时乘以5/6得到)
用式子1-式子2得
(1/6)*s = 1/6 + (1/6)*(5/6) + (1/6)*(5/6)^2````+(1/6)*(5/6)^n+```
又等比数列的公式得(1/6)*s =( 1/6(1 -(5/6)^n)/(1-5/6).由于n为正无穷,所有(5/6)^n =0;所以s = 6.
这个题的公式为:
情形1,出现连续n个相同后停止掷色子的次数的期望 = 1+m+m^2 + ``` + m^(n-1);
情形2,出现连续n个不同后停止掷色子的次数的期望 = 1+m/(m-1) + m^2/((m-1)*(m-2))+```+m^(n-1)/((m-1)*(m-2)*```*(m-n+1));
可以这样解释,情形1,先随便掷色子一次,后面要掷出和这个相同的期望数为m,然后仍要掷出相同的期望为m^2```
类推,后面要掷出和这个色子同色的概率为1/m,所以次数的期望为m。第三次掷色子要和前两次相同的概率为1/(m*m),所以期望为m*m```
其余就自己推吧···(未必对···)
另外一种方法:概率dp,摘自杭电解题报告
设dp[i]表示当前在 已经投掷出 i个 不相同/相同 这个状态时期望还需要投掷多少次,然后dp[i] 有如下等式:
相同:
//dp[0] = 1 + dp[1]
//dp[1] = 1 + ((m-1)dp[1] + dp[2]) / m
//dp[i] = 1 + ((m-1)dp[1] + dp[i+1]) / m
//...
//dp[n] = 0;
不相同:
//dp[0] = 1 + dp[1]
//dp[1] = 1 + (dp[1] + (m-1) dp[2]) / m
//dp[2] = 1 + (dp[1] + dp[2] + (m-2) dp[3]) / m
//dp[i] = 1 + (dp[1] + dp[2] + ... dp[i] + (m-i)dp[i+1]) / m
//...
//dp[n] = 0;
。。于是可以高斯消元。。对于第一问。。我们发现就是相当于 Typing Monkey 问题中字符串是 AAAA..AA 这一特殊情况。。解得递推式:
dp[n] = 0
dp[n-1] = dp[n] * m + 1
。。。
解开后等于等比数列求和。
(也可以直接得到这个公式。。。因为在当前状态只有 m/1 的概率可以进入下一状态,否则要重新来过。。而这一步会另总的步数 + 1。)
对于第二问。。
现在设s[i]=sigma{dp[i], 1..i},对s[i] 列方程
每个方程是关于三个相邻的s[i] 的,然后就可以线性时间解出来了。
也可以设 d[i] = dp[i] - dp[i+1].
可以得到 d[i] = m * d[i-1] / (m-i)
然后就是解一元一次方程...
参见:
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=13614
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=21631
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=24402
http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/05/04/2036332.html
上面的两种递推式肯定能推出上面的公式来,所以我直接用公式写的
贴代码:
#include <cstdio>
int main()
{
// freopen("in.c","r",stdin);
int t;
while(scanf("%d",&t) != EOF)
{
while(t--)
{
double flag,m,n;
scanf("%lf%lf%lf",&flag,&m,&n);
double ans=,tmp =;
if(flag == )
{
for(int i=; i<n; ++i)
{
tmp *= m;
ans += tmp; }
}
else
{
for(int i=; i<n; ++i)
{
tmp *= (m/(m-i));
ans += tmp;
}
}
printf("%lf\n",ans);
}
}
return ;
}
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