【[HAOI2009]逆序对数列】
发现自己学了几天splay已经傻了
其实还是一个比较裸的dp的,但是还是想了一小会,还sb的wa了几次
首先这道题的状态应该很好看出,我们用\(f[i][j]\)表示在前\(i\)个数中(即\(1-i\)中)逆序对个数为\(j\)的方案数
于是我们考虑怎么转移,我们知道逆序对这个东西并不看重实际的大小,只用关心相对大小就行了
于是\(f[i][j]\)的状态肯定来自于\(f[i-1]\),这就相当于我们向序列里加入了\(i\)
由于\(i\)比之前所有数都大,于是它在几个数的前面就会产生多少个逆序对
于是我们的方程就很好写了
\(f[i][j]=\sum_{p=0}^{j}f[i-1][p]\)
同时前\(i-1\)新产生的逆序对的数量也就是\(i-1\)了
于是对于上面那个方程我们还要有一个限制条件
那就是\(p+i-1>=j\)
于是这份暴力代码就可以写出来了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
#define maxn 1001
using namespace std;
const int mod=10000;
int f[maxn][maxn];
int n,k;
inline int read()
{
char c=getchar();
int x=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')
x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
return x;
}
int main()
{
n=read();
k=read();
for(re int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1;
for(re int i=1;i<=n;i++)
for(re int j=1;j<=k;j++)
for(re int p=0;p<=j;p++)
if(i-1+p>=j) f[i][j]=(f[i-1][p]+f[i][j])%mod;
cout<<f[n][k]<<endl;
return 0;
}
但这份代码的复杂度显然是\(O(nk^2)\)的,于是就只有70
我们再去看看我们的方程,那是一个和式,下标还是连续的
有没有想到什么快速求和的方法
那自然是前缀和
由于我们更新\(i\)只会用到\(i-1\)
于是我们开一个滚动的前缀和数组就可以了
于是这就是代码了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
#define maxn 1001
using namespace std;
const int mod=10000;
int f[maxn][maxn];
int n,k;
int p[2][maxn];
inline int read()
{
char c=getchar();
int x=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')
x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
return x;
}
int main()
{
n=read();
k=read();
for(re int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=1;
p[0][0]=p[1][0]=1;
int now=0;
for(re int i=1;i<=k;i++)
p[now][i]=1;
for(re int i=1;i<=n;i++)
{
for(re int t=1;t<=k;t++)
p[now^1][t]=0;
for(re int j=1;j<=k;j++)
{
if(j-i+1<=0) f[i][j]=(p[now][j]+mod)%mod;
else f[i][j]=(p[now][j]-p[now][j-i]+mod)%mod;
p[now^1][j]=(f[i][j]+p[now^1][j-1])%mod;
}
now^=1;
}
cout<<f[n][k]<<endl;
return 0;
}
前缀和优化dp的思想还是很重要的,以后看到这类的方程一定要往前缀和上想
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