简单的Viewing Frustum Culling

Viewing Frustum Culling是图形绘制流水线中，将不可见物体（即不在视锥体内的物体）提前剔除的操作。

在实践中，精确判断物体的可见性开销较大，因而通常用物体包围球或包围盒与视锥体（平截头体，View frustum）做相交测试，以此粗略判断物体是否可见。

进一步地，我们可以采用如下方式来大致判断一个球体与视锥体是否相交：

球与视锥体相交的必要（非充分）条件是：其中心P与视锥体的6个面的符号距离（Signed distance）d均小于球的半径R。注意对于一个平面aX + bY+ cZ + d = 0 （[a, b, c]为平面法线方向N，d为平面与原点的符号距离）, 一个点P(x, y, z)与该平面的符号距离为ax + by + cz + d。因此要粗略判断物体与视锥体是否相交，只需要将其包围球与视锥体的6个面分别计算符号距离即可，如果其与任一面的符号距离大于R，则可安全剔除。

那么如何算得视锥体每个面的面方程呢？一个比较通用的方法是求出视锥体的8个顶点，然后分别利用叉积和点积求出6个面的法线和原点距。 但如果我们已经知道投影矩阵，也可以用如下更简单的方法算得面方程：（以Direct3D为例，OpenGL与之相似，但需要注意的是其规范化设备坐标系的Z取值范围为[-1,1]而非[0,1]）

对于一个场景，设物体空间中有一球体，中心坐标为P，半径为R，由某一视锥体定义的物体空间到规范化设备空间的变换矩阵为M= World *View *Projection。现需要求该视锥体各个面在物体空间中的面方程。回顾规范化设备坐标系的定义，我们可以很容易得知，M的效果可以看做是将视锥体的6个面分别变换到X=1, X=-1, Y=1, Y=-1, Z=0, Z=1这6个面上。例如，视锥体的近剪裁面经过M，会变换到Z=0平面上，远剪裁面变换到Z=1平面上，其他4个面也是类似变换。那么，对于位于视锥体近剪裁面上的任一一点P(x, y, z, 1)，P' =P*M应该满足P'.z / P'.w = 0， 即P'.z = 0，展开P*M可得：x*M._13 + y*M._23 + z*M._33 + M._43=0。这正是近剪裁面在物体空间中的平面方程。

同理，对于远剪裁面有P'.z / P'.w = 1，展开P*M有x*(M._13-M._14) + y**(M._23-M._24)+ z*(M._33-M._34)+(M._43-M._44)=0，为远剪裁面在物体空间中的平面方程。

同理可得很容易求得其他4个面的面方程。

如下示例了使用DirectXMath的求面方程以及相交测试的完整代码：

// mWVP is the Word-View-Projection Matrix

XMFLOAT4 plane[6];
// x=1
plane[0].x = mWVP._11 - mWVP._14;
plane[0].y = mWVP._21 - mWVP._24;
plane[0].z = mWVP._31 - mWVP._34;
plane[0].w = mWVP._41 - mWVP._44;
// x=-1
plane[1].x = -mWVP._14 - mWVP._11;
plane[1].y = -mWVP._24 - mWVP._21;
plane[1].z = -mWVP._34 - mWVP._31;
plane[1].w = -mWVP._44 - mWVP._41;
// y=1
plane[2].x = mWVP._12 - mWVP._14;
plane[2].y = mWVP._22 - mWVP._24;
plane[2].z = mWVP._32 - mWVP._34;
plane[2].w = mWVP._42 - mWVP._44;
// y=-1
plane[3].x = -mWVP._14 - mWVP._12;
plane[3].y = -mWVP._24 - mWVP._22;
plane[3].z = -mWVP._34 - mWVP._32;
plane[3].w = -mWVP._44 - mWVP._42;
// z=1
plane[4].x = mWVP._13 - mWVP._14;
plane[4].y = mWVP._23 - mWVP._24;
plane[4].z = mWVP._33 - mWVP._34;
plane[4].w = mWVP._43 - mWVP._44;
// z=0
plane[5].x = -mWVP._13;
plane[5].y = -mWVP._23;
plane[5].z = -mWVP._33;
plane[5].w = -mWVP._43;
XMVECTOR xmPlane[6];
// load and normalize
for( UINT i=0; i<6; i++ )
{
    xmPlane[i] = XMLoadFloat4( &plane[i] );
    xmPlane[i] = XMPlaneNormalize( xmPlane[i] );
}
// cull
for( UINT s=0; s<objects.size(); s++ ) // traverse all objects
{
    bool bInFrustum = true;
    XMVECTOR xmCenter = XMLoadFloat3( &objects[s].bSphere.center ); // bounding sphere
    float radius = objects[s].bSphere.radius;
    for( UINT i=0; i<6; i++ )
    {
        XMVECTOR xmD = XMPlaneDotCoord( xmPlane[i], xmCenter );
        float d;
        XMStoreFloat( &d, xmD );
        if( d > radius )
        {
             bInFrustum = false;
             break;
        }
    }
    objects[s].isInFrustum = bInFrustum;
}

补充1：需要注意的是，透视投影的视锥体并非立方体，因此存在满足前述判断条件且与视锥体不相交的球体，但这种情况并不多见，故不做进一步判断）

补充2：另外请注意上述代码中面方程的符号。（例如plane[4]=[ -mWVP._13, -mWVP._23, -mWVP._33, -mWVP._43]定义了法线方向指向视锥体外的平面，而如果写作[ mWVP._13, mWVP._23, mWVP._33, mWVP._43]，则定义的是法线方向指向视锥体内的平面，此时需要将判断条件更改为“若d<-R，则剔除”。）