题解 [JXOI2012]奇怪的道路

考场上我坚持认为这是个组合数题。。。

看到\(k\leq8\)我想状压来着，但是不知道怎么压

实际上，对于点i和点j的连边（\(j\in[i-k, i-1]\)）只有连或不连两种状态

而如果i与比j编号小的点连边的情况已经考虑完了，方案数就可以连带下来，如此就可以建立转移

令\(dp[i][j][s][l]\)为在点i，连了j条边，点i-k到点i之间的点已连边数的奇偶性压成s，此时从前向后连带到第\(i-k+l\)个点

i与每个点都是连或不连两种状态，则正序枚举l，使\(dp[i][j][s][max(0, k-i)]\)为初始状态

则连带过程：

\(dp[i][j][s][l+1] += dp[i][j][s][l]\) （i与j不连边）

\(dp[i][j+1][s^(1<<(k-l))^1][l] += dp[i][j][s][l]\) （i与j连边）

注意这里\(l\in[0, k-1]\)，但为了方便写成了\(l\in[0, k]\)，

当\(i==k\)时考虑从第i个点转移到第i+1个点，但只有第i-k个点连边为偶数时可以转移。

\(dp[i+1][j][s<<1][max(0, k-i)] += dp[i][j][s][k]\)

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 32
#define ll long long
#define ld long double
#define usd unsigned
#define ull unsigned long long
//#define int long long 

int n, m, k;
ll dp[N][N][1<<9][9];
const ll p=1e9+7;

inline void mod(ll& a, ll b) {a+=b; if (a>=p) a-=p;}

signed main()
{
	#ifdef DEBUG
	freopen("1.in", "r", stdin);
	#endif

	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	int lim = 1<<(k+1);
	dp[1][0][0][k] = 1;
	for (int i=1,cnt,s2; i<=n; ++i)
		for (int j=0; j<=m; ++j)
			for (int s=0; s<lim; ++s)
				for (int l=0; l<=k; ++l) {
					if (i-k+l <= 0) continue;
					cnt=0; s2=s;
					while (s2) {++cnt; s2&=(s2-1);}
					//if (cnt>j*2) continue;
					//if (dp[i][j][s][l]) cout<<i<<' '<<j<<' '<<s<<' '<<l<<' '<<cnt<<endl;
					if (l==k) {
						if (!(s&(1<<k))) mod(dp[i+1][j][s<<1][max(0, k-i)], dp[i][j][s][k]);
					}
					else {
						//if (dp[i][j][s][l]) cout<<i<<' '<<j<<' '<<s<<' '<<l<<' '<<cnt<<endl;
						mod(dp[i][j+1][s^(1<<(k-l))^1][l], dp[i][j][s][l]);
						mod(dp[i][j][s][l+1], dp[i][j][s][l]);
						//if (dp[i][j][s][l]) {
							//cout<<dp[i][j+1][s^(1<<(k-l))^1][l+1]<<endl;
							//cout<<bitset<10>(s^(1<<(k-l))^1)<<endl;
						//}
					}
					//if (i==2) printf("dp[%d][%d][%d][%d]=%lld\n", i, j, s, l, dp[i][j][s][l]);
				}
	printf("%lld\n", dp[n][m][0][k]);

	return 0;
}