洛谷 P5658 [CSP-S2019] 括号树

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P5658

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分析：

显然我们应该在dfs树的同时维护每个点的答案。

注意到第 \(u\) 个点的答案可以分成两部分，不包含 \(u\) 点时的答案，和加入 \(u\) 点后新增的答案，前者可以从父节点继承下来，所以我们对于每个点考虑的是加入该点后新增的答案。

在dfs树时会回溯，所以我们还需要考虑撤销这个点带来的影响。

所以我们实际要做的就是思考出一种策略，使其能够对新加入的点维护出新增的答案，还能将这个点的影响撤销。

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算法：

对于一个点，我们分类讨论左括号和右括号的两种操作。

对于加入点的策略。

首先让当前点继承父节点的答案，然后考虑新增答案。

如果加入的是右括号，它可能会与前面的第一个左括号匹配，所以考虑对左括号维护一个栈。考虑这两个括号中间的部分，它一定是一个合法子串或空串（假如中间有不匹配的右括号，那么它一定会和当前左括号匹配，假如中间有不匹配的左括号，那么它会成为第一个左括号，变成当前右括号的匹配对象）。所以当前右括号匹配后一定会新增一个答案，考虑其他的答案，一定是多组匹配的括号相连，形如\((\cdots)(\cdots)(\cdots)\)。所以我们用while循环查询当前now节点匹配的左括号的前一个是否是右括号且有匹配（匹配括号内部一样也是合法子串。同时我们需要对右括号维护一个匹配左括号）：如果是，那么答案++，并将now更新为这个右括号，循环查询；如果不是，那么退出。这样就可以正确地维护出当前加入点的新增答案了。

如果加入的是左括号，那么不会有新增的答案（不可能与另一个右括号匹配），只需维护栈。

对于退出点时策略。

如果退出的是右括号，那么其他点的影响只有“可能占据了一个匹配的左括号“，重新在栈里加入这个左括号即可。

如果退出的是左括号，那么在栈里弹出即可。

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优化：

基于以上算法，我们可以写出这样的程序：

void dfs(int u){
	dp[u]=dp[fa[u]];
	if(c[u]=='(') sta[++top]=u;
	else{
		if(top){
			dp[u]++;
			match[u]=sta[top--];
			int now=u;
			while(match[fa[match[now]]]){
				now=fa[match[now]];
				dp[u]++;
			}
		}
	}
	ans^=(u*dp[u]);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
		dfs(e[i].v);
	if(c[u]=='(')top--;
	else if(match[u])sta[++top]=match[u];
}

但是只获得了8AC,2TLE的好成绩。

反思整个算法，最可能影响时间复杂度的就是那个while循环了。我们看循环的过程，它实际是在不停向上跳，返回右括号的数量，对于一个右括号向上跳的结果是不会被后面的节点影响的，所以我们可以对每个右括号维护一个up值，对于一个右括号，只用在上一个右括号的up值加1就是当前的up值。新增的答案就是当前的up值了。

这样就把一个while循环优化成了 \(O(1)\) 查询。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define in read()
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return p*f;
}
const int N=5e5+5;
int n;
char c[N];
struct edge{
	int v,next;
}e[N];
int head[N],en;
void insert(int u,int v){
	e[++en].v=v;
	e[en].next=head[u];
	head[u]=en;
}
int fa[N];
int sta[N],top;//left(
int match[N],up[N];//right)
int ans;
int dp[N];
void dfs(int u){
	dp[u]=dp[fa[u]];
	if(c[u]=='(') sta[++top]=u;
	else if(top){
			match[u]=sta[top--];
			up[u]=up[fa[match[now]]]+1;
			dp[u]+=up[u];
		}
	ans^=(u*dp[u]);
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
		dfs(e[i].v);
	if(c[u]=='(')top--;
	else if(match[u])sta[++top]=match[u];
}
signed main(){
	n=in;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>c[i];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		fa[i]=in;
		insert(fa[i],i);
	}
	dfs(1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

题外话：

两年前的普及组蒟蒻看到这题就放弃了场外提高，两年后的我看到这题在30分钟内成功AC！