python解决组合问题

1.问题描述

　比如9个数中取4个数的组合以及列出各种组合，该如何做？

　我们可以考虑以下一个简单组合：从1，2，3，4，5，6中，如何选取任意四个数的组合。

　固定：1 2 3 ，组合有1234 1235 1236　

　固定1 2 4，组合有：1245 1246

　固定1 2 5，组合有：1256

固定1 3 4，组合有：1345 1346

　固定1 3 5，组合有：1356

　固定1 4 5，组合有：1456

　固定2 3 4，组合有：2345 2346

　固定2 3 5，组合有：2356

　固定2 4 5，组合有：2456

　固定3 4 5，组合有：3456

　　共有15种组合

2.简单实现一下组合算法

　　首先，我们分析上面列出的10个步骤，对于1），很明显，在固定了1 2 3这三个数之后，第四个数就是4、5、6三个数进行了循环（还记得循环吗，计算机最拿手的就是做循环）。其次，我们再分析1）2）3）这三个步骤中固定的数字，前两个没有变，都是1 2，只是第三个数在进行循环（又是循环）。

　　通过分析，我们可以找到这样的规律：

　　　　1 先固定3个数，让第四个数进行循环

　　　　2 让第三个数循环，重复第一步

　　　　3 让第二个数循环，重复第一步

　　　　4 让第一个数循环，重复第一步

def combNumberLoop4(m, b):
    totalNumber = 0
    for i in range(1, m+2-4):
        b[0] = i
        for j in range(i+1, m+2-3):
            b[1] = j
            for k in range(j+1, m+2-2):
                b[2] = k
                for l in range(k+1, m+2-1):
                    b[3] = l
                    print b
                    totalNumber += 1
    return totalNumber
 
group=[99,99,99,99]
print "\nUsing Loop: %d\n" % combNumberLoop4(6, group)

　　程序的输出结果，正如之前分析的那样。

3.如何递归解决组合问题

　　我们再回到C(6,4)问题，除了上面列出的十个步骤，我们换个思路：

　　　　如果在6个数中选定一个数，那么确定剩下的3个数是不是变为了“从5个数中选3个数的组合问题”了呢？以此类推，这似乎变成了一个“递归”问题了，确实，我们可以用递归的思路来解决这个问题。

　　　　对于C(m, n)列出所有组合的问题，可以按照一下的步骤来进行编程，这次我们按从后往前的顺序来列出所有组合：

　　　　　　1 选定一个元素i，在范围[m, n]内进行循环

　　　　　　2 将i 作为所求组合的最后一个元素

　　　　　　3 如果n-1>0，进行递归调用，求C(m-1, n-1)；否则，输出结果

　　　　　　4 重复①

　　　　注意，设计递归函数一定要有终止条件，否则会造成“死循环”。

实现的代码如下：

def combNumber(m, n, b):
    global totalNumberR
    for i in range(m, n-1, -1):
        b[n-1] = i
        if n-1>0:
            combNumber(i-1,n-1,b)
        else:
            print b
            totalNumberR += 1
    return totalNumberR
 
group=[99,99,99,99,99]
totalNumberR = 0
print "\nUsing Recursive: %d\n" % combNumber(7,5,group)

　　递归的使用，让程序写起来非常的简洁，但是，在写程序的时候，我有两个地方（其实程序也就难在这两个地方），折腾了好几天才弄清楚：

　　　　首先是for循环的循环范围如何确定；

　　　　其次是递归调用时使用的参数设计；

3.python提供的内置组合函数

def combinations_with_replacement(iterable, r):
    # combinations_with_replacement('ABC', 2) --> AA AB AC BB BC CC
    pool = tuple(iterable)
    n = len(pool)
    if not n and r:
        return
    indices = [0] * r
    yield tuple(pool[i] for i in indices)
    while True:
        for i in reversed(range(r)):
            if indices[i] != n - 1:
                break
        else:
            return
        indices[i:] = [indices[i] + 1] * (r - i)
        yield tuple(pool[i] for i in indices)