转自:http://www.cnblogs.com/tiandsp/archive/2012/10/31/2747971.html

这里所谓的张量和黎曼那里的张量是不一样的,那个张量更多的用在物理上,这个张量就是矩阵的扩展。比如零阶张量就是数,一阶张量就是向量,二阶张量就是矩阵,三阶四阶就是更高维的数的集合。这个领域现在在数学上还都是很新的东西,矩阵的秩我们都知道怎么求,但是三维的张量或更高维的张量的秩现在在数学上也没有结果。至于张量的奇异值分解也只是也只是用很早的如用HOSVD来处理,我感觉这并不完全合适,新的分解算法就连老美也都没研究出来,从二维到多维的确有很多基础的理论都不适用了,像两个张量相乘这样基础的算法,现在虽然有,但我感觉也不是通用的,还要继续改进。

  下面就是我看的一篇论文的张量相乘和分解方法,她的理论也可能不正确,不过这种新领域,大家都是在探索。

  论文在这里:http://www.cs.tufts.edu/tech_reports/reports/2010-5/report.pdf,他主要介绍的是T-svd,T-svd分解后合成的只是原张量的一个近似结果,而T-QR就能得到一个准确的结果,所以我这里用了T-QR。以Matlab角度来看T-SVD和T-QR的代码其实是很类似的。

首先是两个函数的代码,放在.m文件中,文件名就是默认文件名(函数名)

1   mul.m

function c=mul(a,b)

    [a_n1 a_n2 a_n3]=size(a);
[b_n1 b_n2 b_n3]=size(b);
c=zeros(a_n1,b_n2,a_n3);
A=cell(a_n3,1);
B=cell(b_n3,1); for i=1:a_n3
A{i}=a(:,:,i);
B{i}=b(:,:,i);
end index_up=zeros(1,a_n3);
index_down=zeros(1,a_n3);
for i=1:a_n3
index_up(i)=a_n3-i+1;
index_down(i)=i;
end s=cell(a_n3,a_n3);
for i=1:a_n3
for j=1:a_n3
if i==j
s{i,j}=A{1};
end
if j>i
s{i,j}=A{index_up(j-i)};
end
if j<i
s{i,j}=A{index_down(i-j+1)};
end
end
end re=cell(a_n3,1);
for i=1:a_n3
re{i}=zeros(a_n1,b_n2);
end for i=1:a_n3
for j=1:a_n3
for k=1:1
re{i,k}=re{i,k}+s{i,j}*B{j,k};
end
end
end for i=1:a_n3
c(:,:,i)=re{i};
end end

2  transpos.m

function a=transpos(b)
[n1 n2 n3]=size(b);
a=zeros(n2,n1,n3);
for i=1:n3
a(:,:,i)=b(:,:,i)';
end
end

最后是在matlab命令行中的代码:

clear all;
close all;
clc;
n1=3;
n2=3;
n3=3; A(:,:,1)=[10 23 34;43 55 63;72 85 96];
A(:,:,2)=[24 17 35;52 36 55;81 94 75];
A(:,:,3)=[65 16 52;21 47 78;92 33 43];
%A=imread('s.jpg'); D=fft(A,[],3); for i=1:n3
[q r]=qr(D(:,:,i));
%[u s v]=svd(D(:,:,i));
Q(:,:,i)=q;
R(:,:,i)=r;
%S(:,:,i)=s;
end
Q=ifft(Q,[],3);
R=ifft(R,[],3);
%S=ifft(S,[],3); B(:,:,1)=eye(n1,n2);
B(:,:,2)=zeros(n1,n2);
B(:,:,3)=zeros(n1,n2); %c=mul(mul(U,S),transpos(V));
c=mul(Q,R);
c

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