梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数的含义

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Xianling Mao的专栏

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想必单独论及“ 梯度、Hessian矩阵、平面方程的法线以及函数导数”等四个基本概念的时候，绝大部分人都能够很容易地谈个一二三，基本没有问题。

其实在应用的时候，这几个概念经常被混淆，本文试图把这几个概念之间的关系整理一下，以便应用之时得心应手。

这四个概念中，Hessian矩阵是最不容易混淆，但却是很多人难以记住的概念，其它三个概念很容易记住，但却在某些时候很容易混淆。

• Hessian矩阵：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,..., xn)，Hessian矩阵M定义为：M的第i行,第j列元素为df(X)/dxidxj, 即为f(X)对于变量xi和xj的二次偏导数。
• 梯度：设有凸函数f(X)，X是向量（x1,x2,..., xn)，函数f(X)在点X0处的梯度是一个向量，等于（df(X0)/dx1, df(X0)/dx2, ...., df(X0)/dxn), 即是对于各个变量的偏导数的向量。例子：如果方程是z=f(x,y)，梯度是在XOY平面内的一个向量，与z无关。因此要特别注意梯度不是点(X，f(X))处的切线方向。
• 平面方程的法线：设平面方程Ax+By+Cz+D = 0，向量（A, B, C)为这个平面的法线方向。
• 函数导数：二维直线的方程y= kx+b，我们说k是直线的斜率；二维曲线y=f(x)的导数f '(x)表示在点x处的切线的斜率，注意是切线的斜率，不是切线的方向，它是标量，不是向量。任意曲线y=f(x1,x2,...xn)，对每一个变量求取偏导数，得到一个向量（df(X)/dx1, df(X)/dx2, ...., df(X)/dxn)，这个向量就是函数在点X处的梯度，即梯度是表示曲线f(X)在X处变化最剧烈的方向，特别注意梯度并不是在点(X, f(X))处的切线方向, 梯度只是在点(X, f(X))处的切线方向在X构成的“平面”上的投影。注意，对于二维直线y=kx+b，它也是可以求取梯度的，它的梯度是向量（k），只有一个值，表示的是x方向上的向量，大小是x方向上的单位变化导致y变化量的大小，即就是切线的斜率。

一个问题，我们把二维直线方程y=-kx-b写为平面方程的形式，kx + y+b = 0，这个时候怎么理解？我们可以理解为把y=-kx-b这条直线往z轴的两个方向拉伸得到的平面，就是kx+y+b=0。那么这个平面方程的法线就是（k, 1, 0)，这个法线向量与平面kx+y+b=0垂直，这个时候如果我们用XOY平面去与这个平面相交，即令z=0，就表示直线y=-kx-b，因此法线（k,1)是与直线垂直的。注意y=-kx -b的导数的含义：（-k）表示的是x轴方向的梯度，值为直线的斜率。

一定要注意平面方程的形式与其它三个概念的方程形式是不同的，平面方程的右边是0，而其它三个概念的方程中必须有一个变量在等式的左边，可以表示为f(X)，或者y等形式，本质上f(X)和y都表示的是一个变量，只有方程的形式对的时候才能适用相关的计算，例如，我们不能对方程Ax+By+Cz+D =0，使用梯度或者导数的计算，这个地方非常容易混淆，特此提醒！

pku，sewm，shinning

 

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在数学中，海塞矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海塞矩阵即：

H(f)_ij(x) = D_iD_jf(x)

其中  ，即

二阶偏导数矩阵也就所谓的海赛矩阵(Hessian matrix)
一元函数就是二阶导，多元函数就是二阶偏导组成的矩阵
求向量函数最小值时用的，矩阵正定是最小值存在的充分条件。
经济学中常常遇到求最优的问题，目标函数是多元非线性函数的极值问题尚无一般的求解方法，但判定局部极小值的方法是有的，就是用海赛矩阵，是变量向量二阶偏导数构成的矩阵，矩阵正定是局部极小点的充分条件。