【NOIP2016提高A组8.11】自然数

题目

分析

\(O(n)\)求出mex(1,i)(1<=i<=n)：

虽然0<=ai<=10^9,但只有n个数，所以mex一定小于等于n
for(long long j=1;j<=n;j++)
{
    	if(a[j]<=n)
            bz[a[j]]=false;
        for(long long k=top;k<=n;k++)
        {
            if(bz[k])
            {
                top=k;
                ans+=top;
                break;
            }
        }
}

显然mex是单调不下降的，

接着用线段树维护mex。

如果删掉a[i]，从下一个mex比a[i]大的位置到下一个a[i]的位置之前的mex都会改变，都会变成a[i]。

所以用线段树维护区间最大mex以及区间mex和。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=2147483647;
const long long mo=1000000007;
const long long N=2010000;
using namespace std;
long long a[N],n,ans=0,next[N];
long long bz[N]={0};
struct ddx
{
	long long sum,mxe,lazy;
}tree[N*4];
long long put(long long v,long long l,long long r,long long x,long long y)
{
	if(l==r)
	{
		tree[v].mxe=tree[v].sum=y;
		return 0;
	}
	long long mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)
		put(v*2,l,mid,x,y);
	else
		put(v*2+1,mid+1,r,x,y);
	tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum;
	tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe);
}
long long findpos(long long v,long long l,long long r,long long x)
{
	if(l==r)
	{
		if(tree[v].mxe>x)
			return l;
				else return maxlongint;
	}
	long long mid=(l+r)/2;
	if(tree[v].lazy>=0)
	{
		tree[v*2].mxe=tree[v*2+1].mxe=tree[v*2].lazy=tree[v*2+1].lazy=tree[v].lazy;
		tree[v*2].sum=tree[v].lazy*(mid-l+1);
		tree[v*2+1].sum=tree[v].lazy*(r-mid);
		tree[v].lazy=-1;
	}
	long long o=0;
	if(tree[v*2].mxe>x)
		o=findpos(v*2,l,mid,x);
	else
		o=findpos(v*2+1,mid+1,r,x);
	tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum;
	tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe);
	return o;
}
long long change(long long v,long long l,long long r,long long x,long long y,long long z)
{
	if(l==x && y==r)
	{
		tree[v].sum=z*(r-l+1);
		tree[v].mxe=z;
		tree[v].lazy=z;
		return 0;
	}
	long long mid=(l+r)/2;
	if(tree[v].lazy>=0)
	{
		tree[v*2].mxe=tree[v*2+1].mxe=tree[v*2].lazy=tree[v*2+1].lazy=tree[v].lazy;
		tree[v*2].sum=tree[v].lazy*(mid-l+1);
		tree[v*2+1].sum=tree[v].lazy*(r-mid);
		tree[v].lazy=-1;
	}
	if(y<=mid)
		change(v*2,l,mid,x,y,z);
	else
	if(x>mid)
		change(v*2+1,mid+1,r,x,y,z);
	else
	{
		change(v*2,l,mid,x,mid,z);
		change(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y,z);
	}
	tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum;
	tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe);
}
long long find(long long v,long long l,long long r,long long x,long long y)
{
	if(l==x && y==r)
	{
		ans+=tree[v].sum;
		return 0;
	}
	long long mid=(l+r)/2;
	if(tree[v].lazy>=0)
	{
		tree[v*2].mxe=tree[v*2+1].mxe=tree[v*2].lazy=tree[v*2+1].lazy=tree[v].lazy;
		tree[v*2].sum=tree[v].lazy*(mid-l+1);
		tree[v*2+1].sum=tree[v].lazy*(r-mid);
		tree[v].lazy=-1;
	}
	if(y<=mid)
		find(v*2,l,mid,x,y);
	else
	if(x>mid)
		find(v*2+1,mid+1,r,x,y);
	else
	{
		find(v*2,l,mid,x,mid);
		find(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
	}
	tree[v].sum=tree[v*2].sum+tree[v*2+1].sum;
	tree[v].mxe=max(tree[v*2].mxe,tree[v*2+1].mxe);
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        if(a[i]<=n)
		{
        	next[bz[a[i]]]=i;
        	bz[a[i]]=i;
		}
	}
	for(long long i=1;i<=n;i++)
		if(!next[i])
			next[i]=n+1;
    memset(bz,true,sizeof(bz));
    for(long long i=0;i<=N*4-1;i++)
    	tree[i].lazy=-1;
    long long top=0;
    ans=0;
    for(long long j=1;j<=n;j++)
    {
    		if(a[j]<=n)
            	bz[a[j]]=false;
            for(long long k=top;k<=n;k++)
            {
                if(bz[k])
                {
                    top=k;
                    ans+=top;
                    break;
                }
            }
        put(1,1,n,j,top);
    }
    for(long long i=2;i<=n;i++)
    {
    	if(a[i-1]<=n)
    	{
    		long long pos=findpos(1,1,n,a[i-1]);
    		if(next[i-1]-1>=pos)
    			change(1,1,n,pos,next[i-1]-1,a[i-1]);
		}
    	find(1,1,n,i,n);
	}
    printf("%lld",ans);
}