洛谷 P5242 [USACO19FEB]Cow Dating P

不难发现，对于一个区间 \([l, r]\)，恰好只有一个奶牛接受邀请的概率为

\[\prod_{i=l}^r(1-p_i) \cdot \sum_{i=l}^r \frac {p_i} {1-p_i}
\]

设 \(m_a = \prod_{i=1}^a(1-p_i),\,s_a=\sum_{i=1}^a\frac{p_i}{1-p_i}\)，那么上面的式子可以表示为

\[\frac{m_r}{m_{l - 1}}\cdot (s_r-s_{l-1})
\]

这个式子是凸的。它具有决策单调性，循环枚举 \(l\)，里面的 \(r\) 一定是递增的。

#include <cstdio>

inline double max(const double& a, const double& b){
	return a > b ? a : b;
}

const int MAXN = 1e6 + 19;

int r = 1;
double p[MAXN], m = 1, s = 0, ans;
int n;

int main(){
	std::scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		std::scanf("%lf", p + i);
		p[i] /= 1e6;
		ans = max(ans, p[i]);
	}
	for(int l = 1; l <= n; ++l){
		while(r <= n && m * s <= m * (1 - p[r]) * (s + p[r] / (1 - p[r]))){//r 具有单调性
			m *= 1 - p[r];
			s += p[r] / (1 - p[r]);
			++r;
		}
		ans = max(ans, m * s);//m * s 是选择[l,r]的概率
		m /= 1 - p[l];
		s -= p[l] / (1 - p[l]);//去除 l。
	}
	std::printf("%d\n", (int)(ans * 1e6));
	return 0;
}

\(\quad\) 有点儿像斜率优化。