PAT (Advanced Level) 1144~1147：1145Hash二次探查 1146拓扑排序 1147堆

1144 The Missing Number（20 分）

题意：给定N个数的序列，输出不在序列中的最小的正整数。

分析：

1、给定的N个数可能为正，可能为负，可能重复。

2、由于N≤10​^5​​,所以，当N个数互不重复，且都为正的情况下，所输出的数最大，为10​^5​​+1。

3、将序列中的数标注后，枚举1~10​^5​​+1，遇到的第一个未标注的数即为答案。

4、注意标注序列中的数时，大于10​^5​​+1的数没必要标注（因为给定的数在int范围内），否则会下标越界。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 100000 + 10;
int a[MAXN];
bool vis[MAXN];
int main(){
    int N;
    while(scanf("%d", &N) == 1){
        memset(vis, false, sizeof vis);
        for(int i = 0; i < N; ++i){
            scanf("%d", &a[i]);
            if(a[i] > 0 && a[i] < MAXN) vis[a[i]] = true;
        }
        for(int i = 1; i < MAXN; ++i){
            if(!vis[i]){
                printf("%d", i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

1145 Hashing - Average Search Time（25 分）

题意：给定N个数，插入到长度为MSize的哈希表中，计算查找M个数的平均查找时间。

分析：

1、哈希函数：H(key)=key%MSize

2、题目中要求通过二次探查法解决冲突，且只考虑正增量。

（1）二次探查法的探查序列为Hi=(H(key)+i)%MSize,i取值依次为1*1，-1*1，2*2，-2*2，3*3，-3*3，...，(MSize-1)*(MSize-1),-(MSize-1)*(MSize-1)

（2）由于只考虑正增量，所以i取值为1*1，2*2，3*3，...，(MSize-1)*(MSize-1)

（3）对于i依次取值来解决冲突，如果所有的取值都冲突，则插入失败。

3、查询某数时所执行的操作与插入操作相同，如果查询到的位置为空，则表示该数字不在Hash表中；如果遍历所有的i都未找到，则查询总数加1。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 10000 + 10;
int MSize, N, M;
int Hash[MAXN];
bool judge_prime(int x){
    if(x <= 1) return false;
    for(int i = 2; i <= (int)(sqrt(x + 0.5)) + 1; ++i){
        if(x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
int main(){
    while(scanf("%d%d%d", &MSize, &N, &M) == 3){
        memset(Hash, -1, sizeof Hash);
        while(!judge_prime(MSize)) ++MSize;
        int key;
        while(N--){
            scanf("%d", &key);
            int Hkey = key % MSize;
            bool ok = false;
            if(Hash[Hkey] == -1){
                Hash[Hkey] = key;
                ok = true;
            }
            else{
                for(int i = 1; i <= MSize - 1; ++i){
                    int tmp = (Hkey + i * i) % MSize;
                    if(Hash[tmp] == -1){
                        Hash[tmp] = key;
                        ok = true;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(!ok) printf("%d cannot be inserted.\n", key);
        }
        int x;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < M; ++i){
            scanf("%d", &x);
            int Hkey = x % MSize;
            bool ok = false;
            for(int j = 0; j < MSize; ++j){
                int tmp = (Hkey + j * j) % MSize;
                ++sum;
                if(Hash[tmp] == -1 || Hash[tmp] == x){
                    ok = true;
                    break;
                }
            }
            if(!ok) ++sum;
        }
        printf("%.1lf\n", sum * 1.0 / M);
    }
    return 0;
}

1146 Topological Order（25 分）

题意：给定一个有向图，判断所给的K个选项中哪个不是该图的拓扑排序。

分析：

1、遍历所给的拓扑序，边遍历边将该点所指向的点入度-1。

2、在进行上述操作的前提下，如果遍历到的每个点入度都为0，则该序列一定是拓扑序。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1000 + 10;
vector<int> G[MAXN];
int indegree[MAXN];
int tmpindegree[MAXN];
vector<int> ans;
vector<int> v;
int N, M;
void init(){
    for(int i = 1; i <= N; ++i) G[i].clear();
    memset(indegree, 0, sizeof indegree);
    ans.clear();
}
bool judge(){//判断是否为拓扑序列
    int len = v.size();
    for(int i = 0; i < len; ++i){
        int cur = v[i];
        if(!tmpindegree[cur]){
            int l = G[cur].size();
            for(int j = 0; j < l; ++j){
                --tmpindegree[G[cur][j]];
            }
        }
        else return false;
    }
    return true;
}
int main(){
    while(scanf("%d%d", &N, &M) == 2){
        init();
        int st, ed;
        for(int i = 0; i < M; ++i){
            scanf("%d%d", &st, &ed);
            G[st].push_back(ed);
            ++indegree[ed];
        }
        int K, x;
        scanf("%d", &K);
        for(int i = 0; i < K; ++i){
            memcpy(tmpindegree, indegree, sizeof indegree);
            v.clear();
            for(int j = 0; j < N; ++j){
                scanf("%d", &x);
                v.push_back(x);
            }
            if(!judge()) ans.push_back(i);
        }
        int len = ans.size();
        for(int i = 0; i < len; ++i){
            if(i) printf(" ");
            printf("%d", ans[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

1147 Heaps（30 分）

题意：给定一个完全二叉树的层次遍历序列，问该二叉树是否为堆结构，并进一步判断是大顶堆还是小顶堆，最后输出该二叉树的后序遍历序列。

分析：

1、由于给定的N (1<N≤1000)个点数字各不相同，且大小都在int范围内，首先对N个点进行坐标离散化。

2、利用queue边读取边判断该二叉树是否为堆结构，同时记录每个点的左右子结点。

3、进行后序遍历。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 100000 + 10;
int lchild[MAXN], rchild[MAXN];
map<int, int> mp1;
map<int, int> mp2;
queue<int> q;
vector<int> ans;
int root;
int cnt;
void init(){
    memset(lchild, 0, sizeof lchild);
    memset(rchild, 0, sizeof rchild);
    mp1.clear();
    mp2.clear();
    while(!q.empty()) q.pop();
    ans.clear();
}
void get_id(int x){//坐标离散化
    ++cnt;
    mp1[x] = cnt;
    mp2[cnt] = x;
}
int judge(int type_l, int type_r){
    if(type_l == 1 && type_r != 2){
        return 1;//Min Heap
    }
    else if(type_l == 2 && type_r != 1){
        return 2;//Max Heap
    }
    else{
        return 3;
    }
}
void print_postorder(int x){
    if(lchild[x]) print_postorder(lchild[x]);
    if(rchild[x]) print_postorder(rchild[x]);
    ans.push_back(mp2[x]);
}
int main(){
    int M, N;
    while(scanf("%d%d", &M, &N) == 2){
        while(M--){
            init();
            cnt = 0;
            int x;
            scanf("%d", &x);
            q.push(x);
            get_id(x);
            root = mp1[x];
            int type = 0;
            bool ok = true;
            while(!q.empty()){
                int top = q.front();
                q.pop();
                int type_l = 0;
                int type_r = 0;
                if(cnt < N){
                    scanf("%d", &x);
                    get_id(x);
                    lchild[mp1[top]] = mp1[x];
                    q.push(x);
                    if(top < x) type_l = 1;
                    else type_l = 2;
                }
                if(cnt < N){
                    scanf("%d", &x);
                    get_id(x);
                    rchild[mp1[top]] = mp1[x];
                    q.push(x);
                    if(top < x) type_r = 1;
                    else type_r = 2;
                }
                if(type == 0) type = judge(type_l, type_r);
                else{
                    int tmptype = judge(type_l, type_r);
                    if(tmptype != type || type == 3) ok = false;
                }
                if(cnt == N) break;
            }
            if(!ok) printf("Not Heap\n");
            else{
                if(type == 1) printf("Min Heap\n");
                else printf("Max Heap\n");
            }
            print_postorder(root);
            int len = ans.size();
            for(int i = 0; i < len; ++i){
                if(i) printf(" ");
                printf("%d", ans[i]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}