开坑啦!

2019 3/28 以前一直不知道怎么搞最大子段和,如今终于可以学习,其实真的很简单啊。

2019 3/29 树链剖分上最大子段和也OK啦

前置技能:线段树

题目大意:询问区间[l,r]的最大字段和

定义:

struct kkk{
int val; //表示该区间的权值和
int left; //表示该区间的前缀最大和
int right; //表示该区间的后缀最大和
int middle; //表示该区间的最大子段和
kkk(){val=left=right=middle=0;} //清0
}tree[maxn];

大家都应知道,线段树基本原理,那么最大子段和放在线段树上,其实就是两个区间的合并时怎么将区间关系,pushup区间的问题。

下面给出两个区间合并的方式:合并的区间为res

合并保证x是左区间,y是右区间,x,y相邻。

首先是val的合并,很简单,区间x的val+区间y的val

res.val=x.val+y.val;

然后是left的合并,前缀最大和只有两种情况,要么是x区间的前缀最大和,要么是x的权值和+y的前缀最大和。结果是这两种情况的max值。证明:贪心。

那么right的合并也差不多,要么是y区间的后缀最大和,要么是y的权值+x的后缀最大和。

至于middle就分几种情况:

1.x区间的middle
2.y区间的middle
3.x区间的后缀最大和+y区间的前缀最大和

代码实现合并操作:

kkk merge(kkk x,kkk y){
kkk res;
res.val=x.val+y.val;
res.middle=max(
max(x.middle,y.middle),
x.right+y.left
);
res.left=max(x.left,x.val+y.left);
res.right=max(y.right,y.val+x.right);
return res;
}

那么pushup操作即是将左儿子和右儿子合并。

查询操作

我们查询时返回一个区间,这个区间在查询时会合并成我们想要查询的那个区间,那么那个区间的middle就是我们要求的答案。

kkk query(int node,int begin,int end,int x,int y){
if(begin>=x&&end<=y)return tree[node]; //包含该区间,直接返回
int mid=(begin+end)>>1;
kkk Left,Right,res;
if(x<=mid) Left=query(L(node),begin,mid,x,y); //查询左区间
if(y>mid) Right=query(R(node),mid+1,end,x,y); //查询右区间
return merge(Left,Right); //合并成一个区间
}

经过思考,我们会发现Left和Right决不是返回整个区间,而是我们要求的区间在Left或Right区间的部分。所以我们可以直接将Left和Right区间合并。

最后输出的就是查询到区间的middle

printf("%d\n",query(1,1,n,x,y).middle);

下面放完整代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000001
#define L(node) (node<<1)
#define R(node) ((node<<1)|1)
using namespace std;
struct kkk{
int val,left,right,middle;
kkk(){val=left=right=middle=0;}
}tree[maxn];
int n,m,x,y,a[maxn];
kkk merge(kkk x,kkk y){
kkk res;
res.val=x.val+y.val;
res.middle=max(max(x.middle,y.middle),x.right+y.left);
res.left=max(x.left,x.val+y.left);
res.right=max(y.right,y.val+x.right);
return res;
}
void build(int node,int begin,int end){
if(begin==end){
tree[node].val=tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=a[begin];
return ;
}else{
int mid=(begin+end)>>1;
build(L(node),begin,mid);
build(R(node),mid+1,end);
tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
}
}
kkk query(int node,int begin,int end,int x,int y){
if(begin>=x&&end<=y)return tree[node]; //包含该区间,直接返回
int mid=(begin+end)>>1;
if(y<=mid) return query(L(node),begin,mid,x,y);
if(x>mid)return query(R(node),mid+1,end,x,y);
kkk Left,Right;
if(x<=mid) Left=query(L(node),begin,mid,x,y); //查询左区间
if(y>mid) Right=query(R(node),mid+1,end,x,y); //查询右区间
return merge(Left,Right); //合并成一个区间
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",query(1,1,n,x,y).middle);
}
}

修改操作

修改操作和普通线段树没有什么区别,求最大子段和只和pushup和查询操作有直接关系,其他的操作几乎一样。当然,这里的修指的是区间赋值,如果是区间加的话可能要更加复杂。

单点修代码:

void update(int node,int begin,int end,int x,int val){
if(begin==end){
tree[node].val=tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=val;
return ;
}else{
int mid=(begin+end)>>1;
if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,val);
if(x>mid) update(R(node),mid+1,end,x,val);
pushup(node);
}
}

区间修

其实和线段树也是一模一样的,不信看代码:

void update(int node,int begin,int end,int x,int y,int val){
if(begin>=x&&end<=y){
change(node,begin,end,val);
return ;
}else{
pushdown(node,begin,end);
int mid=(begin+end)>>1;
if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,y,val);
if(y>mid) update(R(node),mid+1,end,x,y,val);
tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
}
}

容易发现,整体的结构和线段树的区间修是一模一样的,但是赋值变成了change,更新pushdown很迷,下面一起来看一下。

change操作是赋值操作,也就是和线段树一模一样的。

void change(int node,int begin,int end,int val){
tree[node].val=(end-begin+1)*val;
tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=val;
tree[node].tag=val;tree[node].flag=1;
}

可以发现,这里有个flag,表示的是该区间有没有被打tag标记。我们不可以直接让tag=0来判断标记,因为可能tag是赋值为0的,所以我们要用flag来记录有没有打tag。这是一个小细节。

剩下就是pushdown操作了,就是注意一下用flag来判断就好。其他赋值都可以用change来代替,写起来方便很多。

void pushdown(int node,int begin,int end){
if(tree[node].flag==1){
int mid=(begin+end)>>1;
change(L(node),begin,mid,tree[node].tag);
change(R(node),mid+1,end,tree[node].tag);
tree[node].tag=0;tree[node].flag=0;
}
}

那么区间修的代码就这些了,直接调用就可以了。

区间修代码:

void change(int node,int begin,int end,int val){
tree[node].val=(end-begin+1)*val;
tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=val;
tree[node].tag=val;tree[node].flag=1;
}
void pushdown(int node,int begin,int end){
if(tree[node].flag==1){
int mid=(begin+end)>>1;
change(L(node),begin,mid,tree[node].tag);
change(R(node),mid+1,end,tree[node].tag);
tree[node].tag=0;tree[node].flag=0;
}
}
void update(int node,int begin,int end,int x,int y,int val){
if(begin>=x&&end<=y){
change(node,begin,end,val);
return ;
}else{
pushdown(node,begin,end);
int mid=(begin+end)>>1;
if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,y,val);
if(y>mid) update(R(node),mid+1,end,x,y,val);
tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
}
}

允许有空集

前面的代码里都是不允许空集的,那么允许空集是怎样的呢?

其实只需要改一点就可以了。赋值判断一下大于0还是小于0,如果小于0就在left,right,middle赋值为0。

定义:

struct kkk{
int val,left,right,middle,tag,flag;
kkk(){left=right=middle=val=0;} //清0
}tree[maxn];

query:

kkk query(int node,int begin,int end,int x,int y){
if(begin>=x&&end<=y)return tree[node];
int mid=(begin+end)>>1;
pushdown(node,begin,end);
kkk Left,Right;
if(x<=mid) Left=query(L(node),begin,mid,x,y);
if(y>mid) Right=query(R(node),mid+1,end,x,y);
return merge(Left,Right);
}

update:

void change(int node,int begin,int end,int val){
tree[node].val=(end-begin+1)*val;
tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=max(val,0); //负数不如0
tree[node].tag=val;tree[node].flag=1;
}
void pushdown(int node,int begin,int end){
if(tree[node].flag==1){
int mid=(begin+end)>>1;
change(L(node),begin,mid,tree[node].tag);
change(R(node),mid+1,end,tree[node].tag);
tree[node].tag=0;tree[node].flag=0;
}
}
void update(int node,int begin,int end,int x,int y,int val){
if(begin>=x&&end<=y){
change(node,begin,end,val);
return ;
}else{
pushdown(node,begin,end);
int mid=(begin+end)>>1;
if(x<=mid)update(L(node),begin,mid,x,y,val);
if(y>mid) update(R(node),mid+1,end,x,y,val);
tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
}
}

build:

void build(int node,int begin,int end){
if(begin==end){
tree[node].val=a[begin];tree[node].flag=0;
tree[node].left=tree[node].right=tree[node].middle=max(0,a[begin]); //负数不如0
return ;
}else{
int mid=(begin+end)>>1;
build(L(node),begin,mid);
build(R(node),mid+1,end);
tree[node]=merge(tree[L(node)],tree[R(node)]);
}
}

树上最大子段和

终于到树链剖分啦,传说什么区间问题都能搬到树上,最大子段和也不例外。

先来看看GSS7,要支持两个操作。一查询,二修改。

建树就不用说了吧。

首先修改操作,和普通树链剖分一样,用上面的区间修代码加树链剖分就OK辽。

树链剖分过程
void linkadd(int x,int y,int z){
int fx=top[x],fy=top[y];
while(fx!=fy){
if(dep[fx]<dep[fy])swap(x,y),swap(fx,fy);
update(1,1,seg[0],seg[fx],seg[x],z);
x=father[fx];fx=top[x];
}
if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
update(1,1,seg[0],seg[x],seg[y],z);
}

重点是查询!

查询

我们知道树链剖分的核心就在于把树上的链化为序列。所以我们在树链剖分的过程中将链上的序列合并,最后得出的序列即为要求序列。

那么怎么在跳重链的过程将序列合并呢?

我们维护两个结构体L和R,分别表示左链上的序列和右链上的序列。什么意思呢?两个点x和y的最近公共祖先F只有一个。那么我们称F到x那一段为左链,F到y那一段为右链。

跳重链的过程可能是一下跳到F到x那一段,一下跳到F到y那一段,所以如果在F到x那一段,我们将那段区间加入到L,不然加入到R。

最后将L和R合并即是最后序列。小细节:要将L的left和right互换再合并。

还是挺复杂的,看看代码注释比较有帮助:

kkk linkquery(int x,int y){
kkk L,R;
int fx=top[x],fy=top[y];
while(fx!=fy){ //跳重链
if(dep[fx]<dep[fy]){
R=merge(query(1,1,n,seg[fy],seg[y]),R); //跳到了F到y那边,和R合并
y=father[fy];fy=top[y];
}else{
L=merge(query(1,1,n,seg[fx],seg[x]),L); //跳到了F到x那边,和L合并
x=father[fx];fx=top[x];
}
}
if(dep[x]>dep[y]){
L=merge(query(1,1,n,seg[y],seg[x]),L); //同上
}else{
R=merge(query(1,1,n,seg[x],seg[y]),R);
}
swap(L.left,L.right); //交换
return merge(L,R); //合并L,R
}

剩下也差不多,代码比较长,放剪切板里:GSS7代码

To be continue……

GSS系列题解——最大子段和系列的更多相关文章

  1. IEEE Bigger系列题解

    Bigger系列题解 Bigger Python 坑点在于要高精度以及表达式求值,用java写可以很容易避免高精度问题 然后这道题就可以AC了 代码 import java.io.*; import ...

  2. PHP有两个不同的版本:4.x系列版本和5.x系列版本

    在为用户提供动态内容方面,PHP和MySQL是一个强大的组合.这些年来,这两项产品已经跨越了它们最初的应用舞台,现在,一些世界上最繁忙的网站也在应用它们.虽然它们当初都是开源软件,只能在UNIX/Li ...

  3. 【系列专题】ECMAScript 重温系列(10篇全)

    ES6 系列ECMAScript 2015 [ES]150-重温基础:ES6系列(一) [ES]151-重温基础:ES6系列(二) [ES]152-重温基础:ES6系列(三) [ES]153-重温基础 ...

  4. Scratch少儿编程系列:(十)系列总结及后续计划

    一.系列文章的来由 本篇为该系列文章的一个简单总结, 从初次接触Scratch开始,在写本系列文章过程中,一边读书,一边通过例子做练习. 技术实现,对于我跟人来说,没有什么难度. 我相信,对于一个初次 ...

  5. GSS 系列题解

    GSS GSS1 随便猫树或者线段树,就可以过了 猫树不说,线段树可以维护左边最大,右边最大,区间最大,区间值然后就做出来了. //Isaunoya #pragma GCC optimize(2) # ...

  6. 51Nod 最大M子段和系列 V1 V2 V3

    前言 \(HE\)沾\(BJ\)的光成功滚回家里了...这堆最大子段和的题抠了半天,然而各位\(dalao\)们都已经去做概率了...先%为敬. 引流之主:老姚的博客 最大M子段和 V1 思路 最简单 ...

  7. 【题解】NOI 系列题解总集

    每次做一道 NOI 系列的估计都很激动吧,对于我这种萌新来说( P1731 [NOI1999]生日蛋糕 练习剪枝技巧,关于剪枝,欢迎看我的垃圾无意义笔记 这道题是有一定难度的,需要运用各种高科技剪枝( ...

  8. QTREE系列题解

    打了快一星期的qtree终于打完了- - (其实还有两题改不出来弃疗了QAQ) orz神AK一星期前就虐完QTREE 避免忘记还是简单写下题解吧0 0 QTREE1 题意: 给出一颗带边权树 一个操作 ...

  9. SPOJ GSS(Can you answer the Queries)系列 7/8

    GSS1 线段树最大子段和裸题,不带修改,注意pushup. 然而并不会猫树之类的东西 #include<bits/stdc++.h> #define MAXN 50001 using n ...

随机推荐

  1. java读/写文件

    读取文件参考:https://blog.csdn.net/weixin_42129373/article/details/82154471 写入文件参考:https://blog.csdn.net/B ...

  2. HNOI2019 题解

    题目排序不是我做题的顺序也不是试题顺序. 多边形 首先要知道终止态是所有边都指向了 \(n\) 号节点. 那么我们如果每一步都让 \(n\) 的度数 +1 那一定是最优的,显然可以办到. 那么可以从与 ...

  3. CRPR/CPPR

    S CRPR  clock reconvergence pessimism removal C CPPR  clock path pessimism removal 剔除公共clock path上的悲 ...

  4. CRT中国剩余定理 & Lucas卢卡斯定理

    数论_CRT(中国剩余定理)& Lucas (卢卡斯定理) 前言 又是一脸懵逼的一天. 正文 按照道理来说,我们应该先做一个介绍. 中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainde ...

  5. max=(a>b)?a:b;

    这个函数的意思是如果a>b,max=a:否则max=b. 实际程序: while ((__HAL_UART_GET_FLAG(huart, Flag) ? SET : RESET) == Sta ...

  6. 2019年小结&2020年展望

    每篇一句 If you want love, then this is it. This is real life. It's not perfect but it's real. --Before ...

  7. 【PAT甲级】1071 Speech Patterns (25 分)(getline(cin,x))

    题意: 输入一行字符串,输出出现过次数最多的由字母和数字组成的字符串以及它出现的次数(对大小写不敏感,输出全部输出小写). AAAAAccepted code: #define HAVE_STRUCT ...

  8. About Computer Graphics 2.0

    Notes of Computer Graphics 2.0: towards end-user-generated contents CG 1.0 Modeling: construct 3D mo ...

  9. ProtoBuf试用与JSON的比较

    介绍 ProtoBuf 是google团队开发的用于高效存储和读取结构化数据的工具.什么是结构化数据呢,正如字面上表达的,就是带有一定结构的数据.比如电话簿上有很多记录数据,每条记录包含姓名.ID.邮 ...

  10. mac下Red Hat 7.4服务器初始化

    物料:VMware Fusion for Mac版     rhel-server-7.4-x86_64-dvd.iso 通过VMware安装好虚拟机,打开终端: 1.通过ifconfig查看ip和网 ...