[bzoj2088]P3505 [POI2010]TEL-Teleportation

洛谷

bzoj

用了分层图的思想

题意

给一张图，要求你再尽可能的多连边，使得从1到2至少要经过5条边

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没啥复杂的公式，讲解都在注释里

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	register int x=0;register int y=1;
	register char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
//P3505 [POI2010]TEL-Teleportation https://www.luogu.com.cn/problem/P3505
//bzoj2088 https://darkbzoj.tk/problem/2088
//题目的意思实际上就是，给出一张图，问最多能加几条边，使得 1->2 的最短路径长度，大于等于 5
//用一点分层图的思想
//考虑将图分成 5 层
//一层：点 1
//二层：和 1 相连的点
//五层：点 2
//四层：和 2 相连的点
//三层：剩下的点
//然后如何加边在代码的注释里，大体思路就是先考虑一层内的加边，然后再考虑层与层之间的
//最后再减去原有的边数，至于怎么严格证明这样是最优的并不会...
//type 表示的是所在层的编号
int type[40006];
int x[1000006],y[1000006];
int n,m;
int link[40006];//这个表示的是 3 层中的点与 2,4 哪一层相连，具体看下面的注释
inline void swap(int &x,int &y){x^=y;y^=x;x^=y;}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(reg int i=3;i<=n;i++) type[i]=3;
	type[1]=1;type[2]=5;
	int edgenum_2=0,edgenum_3=0,edgenum_4=0;//两个端点均为某层的边的个数
	int edgenum_23=0,edgenum_34=0;//两层之间的边数
	for(reg int i=1;i<=m;i++){//先处理出各个点都在哪一层
		x[i]=read();y[i]=read();
		if(x[i]>y[i]) swap(x[i],y[i]);
		if(x[i]==1) type[y[i]]=2;
		else if(x[i]==2) type[y[i]]=4;
	}
	for(reg int i=1;i<=m;i++){//处理边数
		if(type[x[i]]==2&&type[y[i]]==2) edgenum_2++;
		else if(type[x[i]]==3&&type[y[i]]==3) edgenum_3++;
		else if(type[x[i]]==4&&type[y[i]]==4) edgenum_4++;
		else if((type[x[i]]==2&&type[y[i]]==3)||(type[x[i]]==3&&type[y[i]]==2)) edgenum_23++;
		else if((type[x[i]]==4&&type[y[i]]==3)||(type[x[i]]==3&&type[y[i]]==4)) edgenum_34++;
	}
	int vertex_2=0,vertex_3=0,vertex_4=0;//处理各个层的点的个数
	for(reg int i=1;i<=n;i++){
		if(type[i]==2) vertex_2++;
		else if(type[i]==3) vertex_3++;
		else if(type[i]==4) vertex_4++;
	}
	int ans=0;
	//先处理每层内部连边
	ans+=vertex_2*(vertex_2-1)/2-edgenum_2;
	ans+=vertex_4*(vertex_4-1)/2-edgenum_4;//2,4 层内的点能随便互相连，肯定不会使路径小于 5
	//3 层内的点，我们要保证从 2 层走到 3 层后，不能立刻走到 4 层，否则就会出现长度为 4 的路径
	//也就是说要有一步是从 3 层的点起步，然后终点也是 3 层的点
	//那么，如果和 2 层的某个点相连，就不能和与 4 层的任何点相连，反之，和 4 相连不和 2 相连
	//题目规定有解，所以并不会有点同时与 2,4 相连（在原有的边的情况下）
	//那么我们可以考虑先处理出在第 3 层中，哪些点与 2 层中的点相连，哪些和 4 中的点相连
	for(reg int i=1;i<=m;i++){
		if(type[x[i]]==3){
			if(type[y[i]]==4) link[x[i]]=4;
			else if(type[y[i]]==2) link[x[i]]=2;
		}
		if(type[y[i]]==3){
			if(type[x[i]]==4) link[y[i]]=4;
			else if(type[x[i]]==2) link[y[i]]=2;
		}
	}
	int link_2=0,link_4=0,link_no=0;//分别是：在第三层中，与第二层的点相连的点数，与第四层的点相连的点数，不与二或四层的点相连的点数
	for(reg int i=1;i<=n;i++)if(type[i]==3){
		if(link[i]==2) link_2++;
		else if(link[i]==4) link_4++;
		else link_no++;
	}
	ans+=link_no*(link_no-1)/2;//不与 2,4 相连的点随便连
	//下面两行就是前面讲的，如果一个点和 2 层相连，那么它可以再与其余的在第三层，并且与 2 层相连的点相连，也可以和不与 2,4 层相连的点相连
	//和 4 层相连的点也是同理
	//这部分自己拿样例画画图比较好
	ans+=link_2*(link_2-1)/2+link_2*link_no;
	ans+=link_4*(link_4-1)/2+link_4*link_no;
	ans+=link_2*link_4;//和 2 层相连的也可以与和 4 层相连的点随便连
	ans-=edgenum_3;//去掉原有的，两个端点都在第 3 层的边数
	/********************************************************************/
	//下面是不同层之间的连边
	//显然，不能跨过一层连边，那样肯定有小于 5 的路径，只能在相邻的层之间连
	//1,2 层和 4,5 层肯定不会再有能连的边了
	//对于第 3 层：
	ans+=link_2*vertex_2-edgenum_23;//和 2 层相连接的点，可以和其它的 2 层的点都连起来，然后再减去 2,3 层之间的边去重
	ans+=link_4*vertex_4-edgenum_34;//和 4 层相连的，同理
	ans+=link_no*std::max(vertex_2,vertex_4);
	//解释上一行：对于不和 2 或 4 层相连的点，只能和 2 或 4 层其中一层的所有点相连，为例最大化边数，肯定是都和 2,4 中点多的一层中的所有点链接
	std::printf("%d",ans);
	return 0;
}